Question

假设我有一个非线性公式，例如y =（ax + bx ^ 2 + cx ^ 3）* dx1 ^ 2

a，b，c，d是要查找的系数，而x和x1是我要拟合的表中的数据。

我需要一种可以用代码（例如C或Delphi）编写的优化算法，以进行迭代以获得合理的系数a，b，c，d。

不想使用Matlab或软件包，因为它必须是独立程序。引用delphi或活动的X单位会很有帮助。如果我可以免费使用它，不要介意购买该软件。

Answer 1

您的问题在a，b，c和d中都是线性的，即使在数据中是立方的。因此，我建议将其表述为ordinary linear least squares问题。请允许我将您的x1重命名为z。想法是这样的：您有

ax _i + bx _i ² + cx _i ³ + dz _i ²≈y _i

对于某些i∈{1,2,3 ... n}。您可以将其写为近似矩阵方程：

⎡x₁ x₁² x₁³ z₁²⎤   ⎡a⎤   ⎡y₁⎤
⎢x₂ x₂² x₂³ z₂²⎥   ⎢b⎥   ⎢y₂⎥
⎢x₃ x₃² x₃³ z₃²⎥ ∙ ⎢c⎥ ≈ ⎢y₃⎥
⎢ ⋮ ⋮  ⋮  ⋮ ⎥   ⎣d⎦   ⎢⋮⎥
⎣xₙ xₙ² xₙ³ zₙ²⎦         ⎣yₙ⎦

或更短时间内

M∙X≈Y

现在您multiply位于矩阵M的transpose的两侧：

M ^T∙M∙X = M ^T∙Y

请注意，我从≈更改为=，因为最小二乘解将完全满足此修改方程（出于冗长的原因，我不想在这里讨论）。这是一个简单的4×4线性方程组。使用常见技术（例如Gaussian elimination）求解以找到X =（a，b，c，d）。

如果n大，您甚至可以即时计算（M ^T∙M）和（M ^T∙Y），而无需存储M本身。这样，4×4 + 4 = 20个数字将成为您在输入记录之间需要维护的所有内存。实际上（M ^T∙M）是symmetric，所以10个数字足以表示矩阵，总共14个。