使用SymPy简化自旋加权球谐函数的三角表示

Question

我已经在Sympy中实现了自旋加权球谐函数（SWSH），它给出了正确的表达式，但是形式没有简化。

例如，spin = 0 l = 1 m = 0的SWSH表达式为

(1/tan(0.5*th))**2.0 - 1

例如在Mathematica中可以轻松地将其简化为

cos(th)*csc(0.5*th)**2

我已经尝试过以下方法，以使用Sympy的功能来简化此过程：

• simplify和trigsimp

• expr.rewrite(exp).simplify().expand().rewrite(sin).simplify()

• expr.rewrite(exp).simplify().expand().rewrite(cos).simplify()

但不幸的是，它只是不想简化，我看不到其他任何方式。

最后，我要编写一个函数作为这些东西的总和，并Ineed对结果进行积分。问题是因为这些表达式不能简化，所得到的被积数又长又复杂，并且要花很长时间。

由于无法使用SWSH表达式，因此我无法对其进行硬编码，因此必须计算它们。

因此，如果有人可以引导我使用一种内置的Sympy简化函数来简化此表达式的方法，那将是很好的。希望该方法也可以简化其他SWSH。

Answer 1

模块fu.py包含几个专门的三角变换程序。例如，TR2将棕褐色床转换为sin-cos。

from sympy.simplify.fu import *
expr = (1/tan(th/2))**2 - 1      # no floats please, we are symbolic
e2 = TR2(expr).trigsimp()

现在e2是-2*cos(th)/(cos(th) - 1)。它不再是两个项的总和，而是包含cos(th)；但另一件事还不是您想要的。事实证明，很难说服SymPy将1-cos(th)变成2*sin(th/2)**2-也许并不奇怪，因为后者看起来确实更复杂。我明白了

e3 = TR7(TR5(TR6(TR11(e2.subs(th, 2*th))))).subs(th, th/2)

，结果为cos(th)/sin(th/2)**2。逻辑是：

1. 加倍角度，得到-2*cos(2*th)/(cos(2*th) - 1)
2. TR11-减小双角，得到-2*(-sin(th)**2 + cos(th)**2)/(-sin(th)**2 + cos(th)**2 - 1)
3. TR6-cos的力量到罪恶的力量，得到(-2*sin(th)**2 + 1)/sin(th)**2。这样就实现了所需的分母形式。仍然需要消除对分子的附带损害。
4. TR5-罪恶的力量对cos的力量，得到(2*cos(th)**2 - 1)/sin(th)**2
5. TR7-降低cos功率（增加角度），获得cos(2*th)/sin(th)**2
6. 半角，得到cos(th)/sin(th/2)**2

步骤4、5、6本质上是3、2、1的倒数。