Question

假设我想在Coq中定义一种Monomials。这些将是从一些有序的变量集到nat的有限映射，其中x²y³由发送x到2，y到3的映射表示，而其他所有变量都获得默认值零。

基本定义似乎并不难：

Require Import
  Coq.FSets.FMapFacts
  Coq.FSets.FMapList
  Coq.Structures.OrderedType.

Module Monomial (K : OrderedType).
  Module M := FMapList.Make(K).

  Module P := WProperties_fun K M.
  Module F := P.F.

  Definition Var : Type := M.key.
  Definition Monomial : Type := M.t nat.

  Definition mon_one : Monomial := M.empty _.

  Definition add_at (a : option nat) (b : option nat) : option nat :=
    match a, b with
      | Some aa, Some bb => Some (aa + bb)
      | Some aa, None => Some aa
      | None, Some bb => Some bb
      | None, None => None
    end.

  Definition mon_times (M : Monomial) (M' : Monomial) : Monomial :=
    M.map2 add_at M M'.

End Monomial.

在这一点上，我想证明一下：

Lemma mon_times_comm : forall M M', mon_times M M' = mon_times M' M.

我可以看到如何使用引理Equal证明这两个映射是Equal_mapsto_iff，但我真的想说我的类型确实代表单项式，并且乘法是真正可交换的（并且地图为eq。

我对Coq来说还很陌生：这是合理的尝试证明吗？

此外，我意识到这可能取决于有限映射的实现：如果FMapList是错误的选择，而另一种实现则使此操作变得容易，请指出这一点！

Answer 1

我可以使用引理Equal_mapsto_iff看到如何证明两个映射是相等的，但是我真的很想说我的类型确实表示单项式，并且乘法是真正可交换的（映射是eq）。

我对Coq来说还很陌生：这是合理的尝试证明吗？

此外，我意识到这可能取决于有限地图的实现：如果FMapList是错误的选择，而另一种实现使此操作更容易，请指出这一点！

实际上，您在正确的轨道上。您使用的集合类型不具有两个属性相同的集合在Coq中定义相等的属性。由于这样的集合被实现为二进制树，因此您可能拥有Node(A, Node(B,C)) <> Node(Node(A,B),C)。

特别是，由于一些问题，在Coq中拥有良好的“集合类型”是一项极具挑战性的任务，请参见答案How to define set in coq without defining set as a list of elements，以获取更多讨论。

做适当的代数确实需要很多复杂的基础结构，@ErikMD的指针是正确的，您应该看一下math-comp和相关的文章，以了解最新的技术。当然，继续尝试吧！

Answer 2

关于Coq中单项式和多元多项式的形式化，您可以考虑使用multinomials库。在OPAM上可用：

$ opam install coq-mathcomp-multinomials

并且自然证明与您的mon_times_comm引理类似的结果：

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype ssrnat seq.
From mathcomp Require Import choice finfun tuple fintype ssralg bigop.
From SsrMultinomials Require Import freeg mpoly.

Lemma test1 (n : nat) (m1 m2 : 'X_{1..n}) : (m1 + m2 = m2 + m1)%MM.
Proof.
move=> *.
by rewrite addmC.
Qed.

Lemma test2 (n : nat) (R : comRingType) (p q : {mpoly R[n]}) :
  (p * q = q * p)%R.
Proof.
move=> *.
by rewrite mpoly_mulC.
Qed.

请注意，多项式库建立在与MathComp密切相关的SSReflect extension of the Coq proof language库的基础上。

最后，请注意，该库对于开发涉及多项式多项式的Coq证明非常方便，但不允许直接使用这些Coq数据类型（Eval vm_compute in ...）进行计算。如果您对此方面也有兴趣，则可能还需要看一下CoqEAL库（尤其是依赖于FMaps的{{3}}理论）。

Coq中有限映射的等式（使用map2定义）

2 个答案: