Question

我正在寻找一种F（n ^ 3）技术，以查找使用以下规则填充n x n矩阵的所有可能方法：每行和每列只能有一个-1和一个1。每行和每一列的总和必须为0。N <=500。输入中可能已经放置了1和-1。矩阵的所有其他条目均为0。

我已经尝试过回溯，但是由于输入的大小可能太慢。解决方案应显示为mod 10 ^ 9-7

Answer 1

在键入此答案时，我忘记了“ F（n ^ 3）”部分。也许从输入中提取“数字”（见下文）需要n ^ 3算法。

这里要注意的主要事情是，您不应该生成所有可能的填充矩阵。输出只是一个数字。因此，如果您可以找到一个合适的方程式，那将是您的“算法”。

要注意的另一件事是，您输入的内容与这些非空单元格的所有位置都不相关。重要的是这九个数字：

独奏1的数量（行和列中都没有成对的-1），
solo -1的数量，
单独行对的数量（列中没有1或-1配对）
单独列对的数量（与先前相同，但已转置）
空行数
空列数
错过三并成对的四胞胎的成对三胞胎的数量
缺少-1的四联体的配对数量
成对的四联体数量

以下是概念矩阵形式的这七个案例，如果您不以书面形式理解它们，这将是没有意义的：

1 0  | -1 0 | 1 -1 |  1 0 | 0 0 | 0 |  1 -1 | -1 1 |  1 -1
0    |  0   | 0  0 | -1 0 |     | 0 | -1  0 |  1 0 | -1  1

您必须从输入中提取前9个数字中的前8个数字，这已经是一件不错的工作了。最后一个不是那么重要，因为该四联体已经填充并且“不可合并”。

您还必须弄清楚如何使用这八个数字。您基本上必须弄清楚哪些概念性矩阵片段可以“合并”在一起以形成完整的矩阵片段（不带空格），然后找到用剩余的1和-1填充这些片段的方式数量这些数字。

最后一部分是模运算，但是那部分很容易。确保前面只有乘法，并且在每次乘法之后都要进行模运算。最大乘积可以是99999993 * 500 = 49999996500，该值大于最大32位整数，但不大于最大64位整数。因此，最简单的方法是使用64位算术进行所有运算。

编辑：我只是意识到这个答案并不完全完整甚至正确。我认为矩阵片段可以以简单明了的方式进行合并，只能成对合并，但是合并的长条可能会无休止地组合在一起。（许多个1可以合并在一起，而不仅仅是两个）。因此，最后没有一个简单的方程式。也许您仍然可以使用答案的概念，但是只需更多的编码即可。

Answer 2

请注意，如果我们在每一列和每一行上都有-1和1，并且其中有2n，则我们满足所有条件。

查找所有索引为1的索引。我们将其称为x。
我们需要放置（n-x）1.有多少种方法？让我们想象一下，最初没有放置-1。让我们选择没有1的第一列。我们需要在其中放置1。我们可以将其放置在（n-x）个可能的位置，因为我们不能将其放置在已经有1的某些行中。让我们选择不带1的第二列。我们可以将其放置在（n-x-1）个可能的位置，因为从第一列开始我们可以少使用1行。
现在让我们考虑一下，如果最初放置-1会发生什么。该公式的问题在于我们不考虑给定的列，我们不能将其放在已经有-1的单元格上。因此，根据列的不同，我们少了1个单元格，当该列的值为-1时可以放置1。因此我们需要将该公式更改为（n-x-f（col））*（n-x-1-f（col））* ...当f上为-1时f（col）= 1该列，否则为0。这一直有效到最后一个公式，我们得到*（1-f（x））。问题在最后一列，因为我们已经在所有其他位置上都放置了1，所以只剩下1个选项将1放置到了，但是如果该位置是我们拥有-1的位置，那么我们就算错了。在其他列上这不是问题，因为我们将始终至少有1个空单元格可供使用。
因此，在需要1的最后一列已放置-1的情况下，我们不能将该位置设为剩下的最后一个选项。这意味着我们需要在前面任何一列的该行上放置1。如果最初在该行上放置1，则无需担心。

要对此进行计数，我们可以执行以下操作（需要添加备注）：

func count (idx, x, bool alreadyPlaced):
    if idx == last:
        return alreadyPlaced        
    if alreadyPlaced:
        return (n - x - f(idx)) * count(idx + 1, x + 1, alreadyPlaced)
    else:
        return (n - x - f(idx) - 1) * count(idx + 1, x + 1, false) + count(idx + 1, x + 1, true)

有了这个，我们知道在网格上放置1的方式的数量。现在剩下的就是计算放置-1的方法的数量并将其乘以2。

将其余的作为练习，但如果您无法解决，请告诉我。

用1和-1填充n x n零矩阵的方法，以便每行和每列只能有一个1和-1，并且每行和列的总和为0

2 个答案: