Question

我看到一些类似的问题：

给出元素：

elems =  [1,2,3,4] # dimensions 1x4

如果我有矢量：

M = [4,2,3,1] # dimensions 1x4

我知道有一些可以乘以p的置换矩阵elems * p = M，在这种情况下为：

p = 
[ 
  0 0 0 1
  0 1 0 0 
  0 0 1 0 
  1 0 0 0 
] # dimensions 4x4

# eg: 
# elems * P = M
  1x4   4x4 = 1x4

现在，对于我的问题，我对M是非矢量，非方阵的情况感兴趣，例如：

M' = [ 
  4 2 3 1 
  4 3 2 1
  1 2 3 4
] # dimensions 3x4

相同

elems' = [
 1 2 3 4
 1 2 3 4
 1 2 3 4
] # where this is now tripled to be conformant dimensions
# dimensions 3x4
#
# meaning P is still 4x4

在这种情况下，您可以看到M_prime和elems_prime仍然只是排列，但现在是多元的，而不是原来的单个向量。

我知道我不能做以下事情，因为矩阵不是正方形的，因此是不可逆的：

elems' * P = M'
         P = elems'^-1 * M'

# eg: 
# elems' * P = M'
  3x4   4x4  = 3x4

当我尝试时，至少在R中，我看到：

> P <- ginv(elems_prime) %*% M_prime
     [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,]  0.1 0.07777778 0.08888889 0.06666667
[2,]  0.2 0.15555556 0.17777778 0.13333333
[3,]  0.3 0.23333333 0.26666667 0.20000000
[4,]  0.4 0.31111111 0.35555556 0.26666667

这会给我M'吗？

> elems_prime %*% P
     [,1]     [,2]     [,3] [,4]
[1,]    3 2.333333 2.666667    2
[2,]    3 2.333333 2.666667    2
[3,]    3 2.333333 2.666667    2

!= M' # No, does not.

所以这不对。

我的问题是：

正确置换元素矩阵的正确P是什么进入M'矩阵？
找到它的算法的名字是什么？（用R，Haskell或伪代码实现是很好的方法）
有没有办法将P的值限制为整数，最好是0或1？

R可重复性

> dput(elems_prime)
structure(c(1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4), .Dim = 3:4)
> dput(M_prime)
structure(c(4, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 4), .Dim = 3:4)

Answer 1

请注意，M'的列空间比elem'的列空间高。这意味着从elem'到M'不存在线性映射，因为线性映射无法增加矩阵的行或列空间（将其视为基础变换很有用）。

因此，M'生成的任何elem' * P的秩最高为1，仅保留常规置换矩阵作为P'的候选对象

如果我们考虑从M'回到elem，这是一个完全不同的问题，这种不对称性也值得注意。

Answer 2

当M不是向量时，这是不可能的。

这就是原因。通常，如果我们将nxm矩阵乘以mxp矩阵，我们将得到nxp矩阵。这里的elems是一个向量，是一个1x4矩阵，因此elems * P必须是某种1x?矩阵。通过延长P，可以延长M，但是必须更改elems才能使M更高。

顺便说一句，在线性代数中，通常将向量翻转为列并将矩阵放在其左侧。这样做的原因是矩阵表示线性函数，并将矩阵放在线性函数所在的相同位置。因此，从功能符号转换为矩阵符号时非常好。另外，如果您仍然必须编写一个方阵，则在页面上花费较少的空间在右侧写一个垂直矢量，而在左侧写一个水平矢量...

查找矩阵置换矩阵的算法

R可重复性

2 个答案: