Question

我正在寻找一个算法，该算法给出一组数字（例如1 2 3），索引（例如2）将根据字典顺序获得这些数字的第二个排列。例如，在这种情况下，算法将返回1 3 2。

Answer 1

以下是Scala中的示例解决方案，我将详细解释：

/**
    example: index:=15, list:=(1, 2, 3, 4)
*/ 
def permutationIndex (index: Int, list: List [Int]) : List [Int] = 
  if (list.isEmpty) list else {
    val len = list.size     // len = 4
    val max = fac (len)     // max = 24
    val divisor = max / len // divisor = 6
    val i = index / divisor // i = 2
    val el = list (i)
    el :: permutationIndex (index - divisor * i, list.filter (_ != el)) }

由于Scala并不是众所周知的，我认为我必须解释算法的最后一行，除此之外，这是非常自我解释的。

    el :: elist

从元素el和列表elist构造一个新列表。 Elist是一个递归调用。

    list.filter (_ != el)

只是没有元素el的列表。

用一个小清单详尽地测试它：

(0 to fac (4) - 1).map (permutationIndex (_, List (1, 2, 3, 4))).mkString ("\n")

使用2个示例测试更大列表的速度：

scala> permutationIndex (123456789, (1 to 12).toList) 
res45: List[Int] = List(4, 2, 1, 5, 12, 7, 10, 8, 11, 6, 9, 3)

scala> permutationIndex (123456790, (1 to 12).toList) 
res46: List[Int] = List(4, 2, 1, 5, 12, 7, 10, 8, 11, 9, 3, 6)

结果立即出现在一台5岁的笔记本电脑上。对于12个元素的List，有479 001 600个排列，但是有100或1000个元素，此解决方案应该仍然可以快速运行 - 您只需要使用BigInt作为索引。

它是如何工作的？我制作了一个图形，可视化示例，列表（1,2,3,4）和索引15：

enter image description here

4个元素列表产生4个！排列（= 24）。我们选择从0到4的任意索引！-1，假设为15.

我们可以使用1..4中的第一个节点可视化树中的所有排列。我们分4！通过4看，每个第一节点导致6个子树。如果我们将索引15除以6，结果为2，并且索引为2的基于零的List中的值为3.因此第一个Node为3，List的其余部分为（1,2,4）。这是一个表，显示15如何通过Array / List / whatever中的索引2的元素：

0 1 2 3 4 5 | 6 ... 11 | 12 13 14 15 16 17 | 18 ... 23
     0      |     1    |         2         |     3
            |          | 0  1  2  3  4  5  |

我们现在减去12，即最后3个元素的单元格的第一个元素（12 ... 17），其中有6个可能的排列，并且看看15个映射到3个。数字3导致数组索引1现在，这是元素2，所以到目前为止的结果是List（3,2，...）。

                        | 0 1 | 2 3 | 4 5 |
                        |  0  |  1  |  3  |
                              | 0 1 |

同样，我们减去2，并以2个排列结束2个剩余元素，并将索引（0,3）映射到值（1,4）。我们看到，属于从顶部开始的15的第二个元素映射到值3，而最后一个步骤的剩余元素是另一个元素：

                             | 0 | 1 |
                             | 0 | 3 |
                             | 3 | 0 |

我们的结果是List（3,2,4,1）或索引（2,1,3,0）。按顺序测试所有索引，它们按顺序产生所有排列。

Answer 2

这是一个简单的解决方案：

from math import factorial # python math library

i = 5               # i is the lexicographic index (counting starts from 0)
n = 3               # n is the length of the permutation
p = range(1, n + 1) # p is a list from 1 to n

for k in range(1, n + 1): # k goes from 1 to n
    f = factorial(n - k)  # compute factorial once per iteration
    d = i // f            # use integer division (like division + floor)
    print(p[d]),          # print permuted number with trailing space
    p.remove(p[d])        # delete p[d] from p
    i = i % f             # reduce i to its remainder

输出：

3 2 1

如果p是列表，则时间复杂度为 O （n ^ 2），如果p为factorial，则 O （n）摊销哈希表和{{1}}是预先计算的。

Answer 3

链接到上述文章： http://penguin.ewu.edu/~trolfe/#Shuffle

/* Converting permutation index into a permutation
 * From code accompanying "Algorithm Alley: Randomized Shuffling",
 * Dr. Dobb’s Journal, Vol. 25, No. 1  (January 2000)
 * http://penguin.ewu.edu/~trolfe/#Shuffle
 *
 * Author:  Tim Rolfe
 *          RolfeT@earthlink.net
 *          http://penguin.ewu.edu/~trolfe/
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// http://stackoverflow.com/questions/8940470/algorithm-for-finding-numerical-permutation-given-lexicographic-index

// Invert the permutation index --- generate what would be
// the subscripts in the N-dimensional array with dimensions
// [N][N-1][N-2]...[2][1]
void IndexInvert(int J[], int N, int Idx)
{  int M, K;

   for (M=1, K=N-1; K > 1; K--)   // Generate (N-1)!
      M *= K;
   for ( K = 0; M > 1; K++ )
   {  J[K] = Idx / M;   // Offset in dimension K
      Idx = Idx % M;    // Remove K contribution
      M /= --N;         // next lower factorial
   }
   J[K] = Idx;          // Right-most index
}

// Generate a permutation based on its index / subscript set.
// To generate the lexicographic order, this involves _shifting_
// characters around rather than swapping.  Right-hand side must
// remain in lexicographic order
void Permute (char Line[], char first, int N, int Jdx[])
{  int Limit;

   Line[0] = first;
   for (Limit = 1; Limit < N; Limit++)
      Line[Limit] = (char)(1+Line[Limit-1]);

   for (Limit = 0; Limit < N; Limit++)
   {  char Hold;
      int Idx = Limit + Jdx[Limit];
      Hold = Line[Idx];
      while (Idx > Limit)
      {  Line[Idx] = Line[Idx-1];
         Idx--;
      }
      Line[Idx] = Hold;
   }
}

// Note:  hard-coded to generate permutation in the set [abc...
int main(int argc, char** argv)
{  int   N = argc > 1 ? atoi(argv[1]) : 4;
   char *Perm  = (char*) calloc(N+1, sizeof *Perm);
   int  *Jdx   = (int*)  calloc(N, sizeof *Jdx);
   int   Index = argc > 2 ? atoi(argv[2]) : 23;
   int   K, Validate;

   for (K = Validate = 1; K <= N; K++)
      Validate *= K;
   if (Index < 0 || Index >= Validate)
   {  printf("Invalid index %d:  %d! is %d\n", Index, N, Validate);
      return -1;   // Error return
   }
   IndexInvert(Jdx, N, Index);
   Permute (Perm, 'a', N, Jdx);
   printf("For N = %d, permutation %d in [0..%d] is %s\n",
          N, Index, Validate-1, Perm);
   return 0;       // Success return
}

Answer 4

由于您未指定所需的语言，here's an implementation in python。

你只需得到序列的第n个元素。

算法的一个想法可能是生成表示输入序列的笛卡尔积的序列并迭代它，跳过具有重复元素的项。

请注意，这可能不是最快的方法，但绝对是一个简单的方法。对于一个快速的人来说，看到赛博格的答案。

求出词典索引的数值置换算法

4 个答案: