Question

问题如下：

给你一组正整数{a1，a2，a3，...，an}，其中没有相同的数字（a1只存在一次，a2只存在一次，......）例如A = { 12,5,7,91}。问题：是否存在两个不相交的A子集，A1 = {b1，b2，...，bm}和A2 = {c1，c2，...，ck}，因此b1 + b2 + ... + bm = c1 + c2 + ... + ck？

请注意以下事项：A1和A2不必覆盖A，因此问题不会自动缩小为子集和问题。例如A = {2,5,3,4,8,12} A1 = {2,5}因此A1的总和为7 A2 = {3,4}因此A2的总和为7 我们发现了具有所描述属性的两个不相交的A子集，因此问题得以解决。

我该如何解决这个问题？我能做的比找到所有可能的（不相交的）子集更好，计算它们的总和并找到两个相等的总和吗？

感谢您的时间。

Answer 1

没问题，这是一个O(1)解决方案。

A1 = {}; 
A2 = {};
sum(A1) == sum(A2) /* == 0 */

QED。

说真的，你可以做的一个优化（假设我们正在谈论正数）只是检查小于或等于sum(A)/2的子集。

对于A中的每个元素，有三个选项使其成为O(3^N)：

将其放入A1
将其放入A2
弃掉它

这是Perl的一个天真的解决方案（计算匹配，如果你只想测试存在，你可以提前返回）。

use List::Util qw/sum/;

my $max = sum(@ARGV)/2;
my $first = shift(@ARGV); # make sure we don't find the empty set (all joking aside) and that we don't cover same solution twice (since elements are unique)
my $found = find($first,0, @ARGV);
print "Number of matches: $found\n";

sub find {
    my ($a, $b, @tail) = @_;
    my $ret = $a == $b? 1 : 0; # are a and b equal sub-sets?
    return $ret unless @tail;

    my $x = shift @tail;
    $ret += find($a + $x, $b, @tail) if $a + $x <= $max; # put x in a
    $ret += find($a, $b + $x, @tail) if $b + $x <= $max; # put x in b
    return $ret + find($a, $b, @tail); # discard x
}

Answer 2

如果答案为否，那么所有n个数的总和至少为2 ^ n-1。因此，如果n很大，并且数字是32位整数，那么答案几乎总是肯定的。如果n很小，你可能会蛮力。

最难的情况可能是当n大约为30时。

Answer 3

我认为您可以像子集求和问题一样解决它。取布尔函数Q（i，s），如果a0，a1，...，ai的子集总和为s并包含ai，则为真。您可以使用动态编程为所有i和s计算它（这是标准方法）。然后，您可以扫描其关联行中具有多个真值的s的所有Q值。

如果存在，则表示您找到了两个具有相同总和的不同子集。它们可能不是不相交的，但是你可以从每个集合中删除公共元素，并获得两个具有相等总和的不相交集合。但其中一个可能是空的。

Answer 4

这个问题似乎至少和SUBSET-SUM一样难。如果我们能找到A的两个子集：B = {b1，...，bp}和C = {c1，...，cq}，那么b1 + ... + bp = -c1 -...- cq，或者如果我们确定不存在，那么我们已经解决了SUBSET-SUM（A）（忽略了0∈A的普通情况）。

我不确定你的意思是B和C没有义务覆盖A，因此问题不会自动减少到子集和问题。请检查SUBSET-SUM的定义。

等和子集混合

4 个答案: