R函数eigen（）返回的特征向量是否错误？

Question

#eigen values and vectors
a <- matrix(c(2, -1, -1, 2), 2)

eigen(a)

我正在尝试在R中找到特征值和特征向量。函数eigen适用于特征值，但特​​征向量值有误。有什么办法可以解决这个问题？

Answer 1

一些文书工作告诉你

• 对于任何非零实数值(-s, s)，特征值3的特征向量为s；
• 对于任何非零实数值(t, t)，特征值1的特征向量为t。

将特征向量缩放为单位长度给出

s = ± sqrt(0.5) = ±0.7071068
t = ± sqrt(0.5) = ±0.7071068

缩放是好的，因为如果矩阵是实对称的，则特征向量的矩阵是正交的，因此其逆是其转置。以您的实对称矩阵a为例：

a <- matrix(c(2, -1, -1, 2), 2)
#     [,1] [,2]
#[1,]    2   -1
#[2,]   -1    2

E <- eigen(a)

d <- E[[1]]
#[1] 3 1

u <- E[[2]]
#           [,1]       [,2]
#[1,] -0.7071068 -0.7071068
#[2,]  0.7071068 -0.7071068

u %*% diag(d) %*% solve(u)  ## don't do this stupid computation in practice
#     [,1] [,2]
#[1,]    2   -1
#[2,]   -1    2

u %*% diag(d) %*% t(u)      ## don't do this stupid computation in practice
#     [,1] [,2]
#[1,]    2   -1
#[2,]   -1    2

crossprod(u)
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    0
#[2,]    0    1

tcrossprod(u)
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    0
#[2,]    0    1

---

如何使用教科书方法查找特征向量

教科书方法是求解同构系统：(A - λI)x = 0为零空间基础。 my this answer中的NullSpace函数将很有帮助。

## your matrix
a <- matrix(c(2, -1, -1, 2), 2)

## knowing that eigenvalues are 3 and 1

## eigenvector for eigenvalue 3
NullSpace(a - diag(3, nrow(a)))
#     [,1]
#[1,]   -1
#[2,]    1

## eigenvector for eigenvalue 1
NullSpace(a - diag(1, nrow(a)))
#     [,1]
#[1,]    1
#[2,]    1

如您所见，它们没有被“规范化”。相比之下，pracma::nullspace给出了“归一化”的特征向量，因此您得到的内容与eigen的输出一致（直到可能的符号翻转）：

library(pracma)

nullspace(a - diag(3, nrow(a)))
#           [,1]
#[1,] -0.7071068
#[2,]  0.7071068

nullspace(a - diag(1, nrow(a)))
#          [,1]
#[1,] 0.7071068
#[2,] 0.7071068