给定带有点的二维图，找到一条穿过最大点数的线

Question

这个问题来自破解编码访谈第7章的问题6。对我来说，作为一个数学家，这似乎是一个简单的最小二乘问题，我们可以找到最佳拟合线。不过，在解决方案中，他们采用了不同的方法。

我的问题如下：开发最小二乘法是否是足够的解决方案，还是我不了解当前的问题？

Answer 1

Least squares isn't an appropriate solution, it doesn't care about the number of aligned points. The least-squares fit might contain no point at all.

The solution in the link by julian has an O(N²) behavior, assuming that a hash map has O(N) behavior to count duplicates. (With sorting, O(N²Log N) can be guaranteed.)

The main idea is to take every point in turn, to compute the directions to all other points, and count the coincident directions.

Answer 2

我认为最小二乘不能在此处提供正确的解决方案。最小二乘可确保所有点的平方误差总和变得最小。这不能保证线应该位于这些点上。这样可能会导致这些点具有很高的方差，并且您会在其中点得到一条直线而没有碰到任何点。

我看问题的方式可以更简单地解决

查找线

找到所有斜率并在平面上为每对斜率截取。因此，使用斜率和截距创建的线中可能有多个点。您可以将每个这样的线方程式及其上的点存储在一起，然后找到点数最大的线。可以使用存储该方程式和该方程式上的点的哈希表来找到最大的线。

这可能是O（n ^ 3），因为您正在创建直线并检查每个点是否在直线上。

霍夫变换

有效的方法可能是使用Hough Transformation。这是线性时间。

每个2d点都映射到hough参数空间中的一条曲线... 我们将Hough参数空间离散化为MxN 如果我们有K点， 然后枚举所有点需要O（KN）时间， 我们在参数空间找到最大值（这可以在枚举时立即完成） 因此总体来说，它可能是线性的，尽管我对此不太确定。

RANSAC

我还找到了关于RANSAC算法的一个很好的资源，看起来像在做类似的工作。也许这可以帮助/

Answer 3

您可以考虑使用双平面。
对于坐标为p_x，p_y的任何点p，都可以将其转换为双线p * =（y = p_x x-p_y）。
对于任何l行：y = mx + b，您都可以将其转换为对偶点l =（m，-b）

然后，平面中的共线点在双平面中形成相交线。然后可以使用线相交算法来找到线数最大的相交点。将双平面中的该交点平移回原平面中的线，即可得到与最大点数相交的线。

有关更多详细信息，请参见M. de Berg等人的“计算几何”第8.2章。

Answer 4

霍夫变换主要是您要寻找的东西。您可以使用概率版本来加快速度，但要付出一些准确性。 OpenCv库已实现，但重新实现并不难。