Question

在证明中破坏n之后，我被困在以下几点：

1 subgoal
n : nat
X : Type
h : X
t : list X
n' : nat
E : n = S n'
H' : length t = n'
IHl : length t = n -> nth_error t n = None
______________________________________(1/1)
nth_error t n' = None

我想使用IHl进行重写，但这是不可能的。我该如何构成IH1和H'才有意义并证明该定理？

Answer 1

我只是想详细说明@Arthur的答案。

我能够使用以下脚本重现您的目标：

Require Import List.

Lemma toto (n : nat) (X : Type) (l : list nat) : length l = n -> nth_error l n = None.
Proof.
induction l as [ | h t IHl].
case_eq n.
simpl; auto.
simpl; discriminate.
case_eq n.
simpl; discriminate.
intros n' E.
simpl; intros E'; injection E'; clear E'; intros H'.

我同意这个目标无法得到证明。现在，如果您改为使用以下文本（必须替换Proof和induction行）来证明，则可以证明（我已选中）。

Proof.
revert n.
induction l as [ | h t IHl]; intros n.

区别在于归纳假设现在具有以下陈述。

forall n : nat, length t = n -> nth_error t n = None

发生了什么事？在第一个（错误的）变体中，您尝试为长度等于精确n的所有列表证明一条语句，因为n在通过归纳开始证明之前是固定的。在第二个（正确的）变体中，您尝试证明所有列表l的语句，并且该语句接受任何n，只要length l = n。

在第一个变体中，n是固定的，并且相等性length l = n将l限制为长度恰好为n的那些。在第二种情况下，首先选择l，并且n不固定，但是等式length l = n限制n遵循l的长度。 / p>

这称为“加载归纳”，因为语句forall n, length l = n -> nth_error l n = None（在加载时）比您尝试在第一个变体中证明的语句（仅针对一个特定的n）要强，但令人惊讶的是，它更容易证明。

Answer 2

您不能，因为归纳假设还不够笼统。这是一条更容易证明的声明：

forall (X : Type) (t : list X), nth_error t (length t) = None

重命名Coq中的假设的一部分

2 个答案: