Question

我试图证明加法在Agda中是可交换的，但我无法使其起作用。这是相关的代码，底部有两个麻烦的目标：

cong : ∀{A B : Set} (f : A → B) {x y : A} (eq : x ≡ y) → f x ≡ f y
cong f refl = refl

plus-assoc : ∀ x {y z} → (x + y) + z ≡ x + (y + z)
plus-assoc zero = refl
plus-assoc (suc x) = cong suc (plus-assoc x)

plus-zero : ∀ x → x + zero ≡ x
plus-zero zero = refl
plus-zero (suc x) rewrite plus-zero x = refl

plus-suc : ∀ x {y} → x + suc y ≡ suc (x + y)
plus-suc zero = refl
plus-suc (suc x) = cong suc (plus-suc x)

plus-comm : ∀ x {y} → x + y ≡ y + x
plus-comm zero = { }0
plus-comm (suc x) = { }1

阿格达发现的目标是

Goal: .y ≡ .y + zero

这显然看起来很像加零，但是如果我不知道如何用.y重写。

第二个目标是

Goal: suc (x + .y) ≡ .y + suc x
——————————————————————————————————————————
.y : Nat
x  : Nat

如果我尝试使用plus-suc重写，如下所示：

plus-comm (suc x) rewrite plus-suc x = { }1

我收到此错误：

Cannot rewrite by equation of type {y : Nat} →
                               x + suc y ≡ suc (x + y)
when checking that the clause
plus-comm (suc x) rewrite plus-suc x = ? has type
(x : Nat) {y : Nat} → x + y ≡ y + x

我真的无法理解这个错误。有什么线索吗？我可以重写整个过程而无需隐式变量，因为这似乎使事情变得更加困难，但是我得到了代码，因此，如果可能的话，我希望保持原样。

谢谢！

Answer 1

您可以保留带有y作为隐式参数的证明函数，但是您需要并且可以在定义中使用它。

pcomm : ∀ x {y} → x + y ≡ y + x
pcomm zero {y} = {!!}
pcomm (suc x) {y} = {!!}

您还可以在调用函数（例如pcomm x {y}）时提供隐式参数。该函数缺少键自变量以完成重写。

提示：如果一个函数具有许多隐式参数，而您只关心提供一个特定的参数，则可以执行以下操作。

-- f {C = X}
f : ∀ {A B C : Set} → Set
f {C = C} = C

证明Agda中加法的可交换性

1 个答案: