Question

我试图在Isabelle / HOL中证明交换性是一种自定义的add函数。我设法证明了相关性，但我坚持这个。

add的定义：

fun add :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"add 0 n = n" |
"add (Suc m) n = Suc(add m n)"

结社证明：

lemma add_Associative: "add(add k m) z = add k (add m z)"
apply(induction k)
apply(auto)
done

交换性证明：

theorem add_commutativity: "add k m = add m k"
apply(induction k)
apply(induction m)
apply(auto)

我有以下目标：

goal (3 subgoals):
1. add 0 0 = add 0 0
2. ⋀m. add 0 m = add m 0 ⟹
     add 0 (Suc m) = add (Suc m) 0
3. ⋀k. add k m = add m k ⟹
     add (Suc k) m = add m (Suc k)

应用自动后，我只剩下subgoal 3：

3. ⋀k. add k m = add m k ⟹
     add (Suc k) m = add m (Suc k)

编辑：我不是在寻找答案，而是朝着正确的方向努力。这些是一本名为Concrete Sementics的书的练习。

Answer 1

我建议尽可能将证明模块化（即证明中间的引理，以后将有助于解决交换性证明）。为此，在应用完全自动化之前（如induct），冥想apply (auto)引入的子目标往往更具信息性。

lemma add_comm:
  "add k m = add m k"
  apply (induct k)

此时子目标是：

 goal (2 subgoals):
  1. add 0 m = add m 0
  2. ⋀k. add k m = add m k ⟹ add (Suc k) m = add m (Suc k)

让我们分别看一下。

使用add的定义，我们只能简化左侧，即add 0 m = m。那么问题仍然是如何证明add m 0 = m。你这样做是主要证据的一部分。我认为它会增加可读性证明以下单独的引理
```
lemma add_0 [simp]:
  "add m 0 = m"
  by (induct m) simp_all
```
并使用simp将其添加到自动工具（例如auto和[simp]）。在此刻第一个子目标可以通过simp解决，只剩下第二个子目标。
应用add的定义以及归纳假设（add k m = add m k）后，我们必须证明Suc (add m k) = add m (Suc k)。这看起来非常类似于add的原始定义的第二个等式，只有交换的参数。（从这个角度来看，我们必须证明第一个子目标与add定义中的第一个等式有交换的论证。）现在，我建议尝试证明一般的引理add m (Suc n) = Suc (add m n)为了继续。

Answer 2

我在克里斯答案的评论中回答了RainyCats的问题：＆＃34; Isabelle如何证明＆＃34;。我在Isar中手动和逐步地详细证明了add的相关性。

通过k上的归纳手动获得相关性：

k = 0我们必须证明add (add 0 m) z = add 0 (add m z)。

我们用add：
的定义重写
- add (add 0 m) z⇢add m z
- add 0 (add m z)⇢add m z
然后通过=的反身性来证明目标。
k = Suc k'
- 我们假设add (add k' m) z = add k' (add m z)。
- 我们必须证明add (add (Suc k') m) z = add (Suc k') (add m z)。
我们用add：
的定义重写
- add (add (Suc k') m) z⇢add (Suc (add k' m)) z⇢Suc (add (add k' m) z)
- add (Suc k') (add m z)⇢Suc (add k' (add m z))
通过归纳假设：Suc (add (add k' m) z)⇢Suc (add k' (add m z))

然后通过=的反身性来证明目标。

在伊萨尔这个详细程度，这将给出：

lemma add_Associative: "add(add k m) z = add k (add m z)"
proof (induction k)
  case 0
    have "add (add 0 m) z = add m z" by (subst add.simps, intro refl)
    moreover have "add 0 (add m z) = add m z" by (subst add.simps, intro refl)
    ultimately show ?case by (elim ssubst, intro refl)
next
  case (Suc k')
    have "add (add (Suc k') m) z = add (Suc (add k' m)) z" by (subst add.simps, intro refl)
    also have "… = Suc (add (add k' m) z)" by (subst add.simps, intro refl)
    also have "… = Suc (add k' (add m z))" by (subst Suc, intro refl)
    moreover have "add (Suc k') (add m z) = Suc (add k' (add m z))" by (subst add.simps, intro refl)
    ultimately show ?case by (elim ssubst, intro refl)
qed

我已尽可能采取最小步骤，by ...可以替换所有by simp。

isabelle证明了交换性

2 个答案: