BIG数（128位）的Euler上位函数有快速算法吗？

Question

我需要获取一些随机生成的128位数字的phi函数（Euler）。 我尝试在下面使用此代码，但是计算机考虑的太多了。

import fractions

def phi(n):
    amount = 0        
    for k in range(1, n + 1):
        if fractions.gcd(n, k) == 1:
            amount += 1
    return amount

有更快的东西吗？

Answer 1

对于128位数字，您将要有效地计算n的素数分解，然后使用

totient = n
for factor in prime_factors(n):
    totient -= totient // factor

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困难的部分是分解。对于128位数字，简单的试用划分效率将非常低。像elliptic curve factorization或quadratic sieve之类的东西会更好，但是手工编写它们很困难。最好使用一个库。

不管发现与否，我发现的最好的Python大规模分解算法的最佳实现是在codegolf.stackexchange.com上this answer的primo上。这是一个多项式二次筛。

primefac（Python 2）和labmath（Python 3）包含一个二次筛，但是它基于Code Golf答案的一个旧的，有点慢且有错误的版本。如果您需要固定版本，则需要转到Code Golf答案。 （还要注意，labmath.factorint默认不使用mpqs实现。）labmath和primefac还包括椭圆曲线分解，以及其他一些不太可能用于此输入大小。

除此之外，还有sympy.ntheory.factorint，但是它在我的测试中存在较大因素的问题，并且仅具有试验划分，波拉德rho和波拉德p-1分解。

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无论如何，请使用这些现有分解因子选项之一，或者实施您自己的分解因子或其他方法，然后在此之上构建您的toient函数。例如，使用primefac：

# primefac.factorint(n) returns a factor:multiplicity dict
from primefac import factorint

def totient(n):
    totient = n
    for factor in factorint(n):
        totient -= totient // factor
    return totient