Question

我正在用C ++实现一个聚类算法。具体来说，这个算法：http://www.cs.uiuc.edu/~hanj/pdf/sigmod07_jglee.pdf

在算法的某一点（第3.2节第4-5页），我将计算两个线段之间的垂直和角距离（d┴和dθ）：p1到p2，p1到p3。

自从我上了数学课以来已经有一段时间了，我对这些实际上是概念性的以及如何计算它们有点不稳定。有人可以帮忙吗？

Answer 1

请看第3页的图5.它绘制出d┴和dθ是什么。

编辑：“Lehmer mean”是使用Lp-space约定定义的。因此，在3维中，您将使用p = 3.假设两个起始点之间的（欧几里得）距离为d1，并且两端之间的距离为d2。然后是d┴(L1, L2) = (d1^3 + d2^3) / (d1^2 + d2^2)。

要查找两个向量之间的角度，可以使用它们的dot product。标准（表示为||x||）计算为like this。

Answer 2

要获得点Q与由两个点P_1和P_2定义的直线的垂直距离，请计算：

d = DOT(Q, CROSS(P_1, P_2) )/MAG(P_2 - P_1)

其中DOT是点积，CROSS是矢量叉积，MAG是幅度（sqrt(X*X+Y*Y+..)）

使用图5.您计算d_1从sj到行（si->ei）和d_2到ej到同一行的距离的距离。

我会建立一个基于三个点的坐标系，两个（P_1，P_2）用于一行，第三个Q用于其他线段。坐标系的三个轴可以这样定义：

e = UNIT(P_2 - P_1)      // axis along the line from P_1 to P_2
k = UNIT( CROSS(e, Q) )  // axis normal to plane defined by  P_1, P_2, Q
n = UNIT( CROSS(k, e) )  // axis normal to line towards Q

其中UNIT()是返回单位向量的函数（幅度= 1）。

然后，您可以使用简单的点积建立所有预计长度。因此，考虑图5中的行si-ei和点sj，长度为：

(l || 1) = DOT(e, sj-si);
(l |_ 1) = DOT(n, sj-si);
ps = si + e * (l || 1)      //projected point

在第二段ej结束时，需要计算新的坐标轴（e，k，n）

(l || 2) = DOT(e, ei-ej);
(l |_ 1) = DOT(n, ej-ei);
pe = ei - e * (l || 1)      //projected point

最终角度距离是

(d th)  = ATAN( ((l |_ 2)-(L |_ 1))/MAG(pe-ps) )

PS。您可能希望在 Math.SO 发布此处，以便获得更好的答案。

计算3d中线段之间的垂直和角度距离

2 个答案: