用5个3D点计算3D单应性

Question

我在投影空间中有一组3D点，我想将它们转换为公制3D空间，以便可以以米为单位测量距离。

为此，我需要3D到3D单应性，这是具有15个自由度的4x4矩阵（因此我需要5个3D点才能获得15个方程式）。 我从投影空间中获得了这5个3D点的集合，并在度量空间中对齐了它们对应的5个3D点（我希望将其转换为5个投影点）。

我不知道如何估计单应矩阵。一开始我尝试过：

A=np.vstack([p1101.T, p1111.T, p0101.T, p0001.T, p0011.T])
b=np.array([[1,1,0,1], [1,1,1,1], [0,1,0,1], [0,0,0,1], [0,0,1,1]])
x, _, _, _ = np.linalg.lstsq(A,b)
H = x.T

其中p1101是[X，Y，Z，1]点，它对应于3D度量空间中的[1,1,0,1]等。 但是，这是不正确的，因为我在投影空间中，因此我需要以某种方式创建一个方程组，在该方程组中，我将H的行除以最后一行或类似的内容。

我认为也许有一个可以实现的方法，例如在opencv中，但没有找到。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我终于和一个朋友解决了这个问题，并希望分享解决方案。

由于在射影空间中，需要求解一个方程组，其中结果的同质坐标是彼此坐标的分母。即，如果要查找4x4单应性矩阵H，并且具有匹配的3D点x和b（b在测距空间中），则需要优化对H参数的搜索，以使得对x施加的H会得到一个具有4个坐标的向量v，使得v的所有前三个坐标除以最后一个坐标都是b。用numpy编写：

v = H.dot(x)
v = v[:3]/v[3]
v == b  # True

在数学上，优化基于此（为了简单起见，此优化仅集中在第一个坐标上，但其他坐标也以相同的方式完成）：

因此在python中，需要以所说明的方式为求解器排列方程，并带有5个匹配点。这个问题的目的是好的（只是没有解决正确的问题），按照这些术语，它将使Ax = b最小二乘优化，使得A为15x15矩阵，b为15维向量。 每个匹配点生成3个等式，然后5个匹配点将生成15个建立在矩阵A中的等式，从而求解3D单应H的15个自由度。