我遇到了关于big-oh的两个略有不同的定义，需要证明它们彼此等效：
定义1： 如果存在常数c和N，使得对于所有n> N，f（n）≤c g（n），则f（n）= O（g（n））。
定义2： 如果存在常数c，对于所有n≥1，f（n）≤c g（n），则f（n）= O（g（n））。
直觉上我知道，如果我们选择c足够大，我们可以像定义2中那样摆脱N。 但是如何证明定义1隐含定义2，反之亦然。
答案 0 :(得分：3)
它们实际上不是等效的，并且（1）是正确的定义。
差异的一个示例是，在（1）n = O(n log(n))下，但在定义（2）下，不是因为在n=1上，对于任何c，{{1 }}。
（1）是正确定义的原因是因为big-O的目的是捕获行为“接近无限”，因此对于小c g(n) = c*1*log(1) = 0 < 1，应忽略有限数量的特殊情况。 / p>
之所以会出现（2），是因为足以建立big-O。只是没有必要。
答案 1 :(得分：1)
让我更好地解释我对@btilly答案的评论。
当g(n)>0的所有值都是n时，两个定义实际上是等效的。这是原因：
首先，当定义2成立时，定义1也成立是永远正确的。实际上，在这种情况下，我们可以选择N=0。
现在假设对于某个常数c和某个数字N满足定义1。如果是N=0，我们有定义2。如果是N>0，请考虑以下数量：
c1 := max{f(1)/g(1), ..., f(N)/g(N)}
商之所以有意义，是因为在g(n)始终为正的情况下。此外，由于
f(n)/g(n) <= c1 (1<=n<=N)
我们得到
f(n) <= c1*g(n) (1<=n<=N)
并且由于f(n) <= c*g(n)为n>N，所以发生了
f(n) <= max(c1,c)*g(n) for all n
按照定义2的要求。