在两个不同区域内拟合实验数据

Question

我正在两个不同的实验区域内拟合一组实验数据（sample），并可以用以下两个数学函数表示：

第一个区域：

y = m*x + c ( the slope can be constrained to zero)

第二个区域：

y = d*exp(-k*x)

下面显示了实验数据，我在python中将其编码如下：

def func(x, m, c, d, k):
   return m*x+ c + d*np.exp(-k*x) 
popt, pcov = curve_fit(func, t, y)

不幸的是，我的数据无法正确拟合，并且拟合（返回）的参数没有意义（请参见下图）。

任何帮助将不胜感激。

Answer 1

由于您的数据在不同区域中表现出不同的行为，因此您还需要使数据适合这些不同区域。那不是对两个模型（函数）求和，而是应该用y = m*x + c使左边的区域适合一个，而y = d*exp(-k*x)则使右边的区域适合。如果您找不到两个区域的边界，可以通过比较goodness of fit来评估。

popt_1, pcov_1 = curve_fit(lambda x, m, c: m*x + c, t[t < 0.8], y[t < 0.8], p0=(1, 0))
popt_2, pcov_2 = curve_fit(lambda x, d, k: d*exp(-k*x), t[t >= 0.8], y[t >= 0.8], p0=(400, 1))

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示例代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit


df = pd.read_csv('test.csv', index_col=None)
t = df.t.values
y = df.Y.values

boundary = t[y.argmax()]
t1 = t[t < boundary]
y1 = y[t < boundary]
t2 = t[t >= boundary]
y2 = y[t >= boundary]

f1 = lambda x, m, c: m*x + c
f2 = lambda x, d, k: d*np.exp(-k*x)
popt_1 ,pcov_1 = curve_fit(f1, t1, y1, p0=((y1[-1] - y1[0]) / (t1[-1] - t1[0]), y1[0]))
popt_2 ,pcov_2 = curve_fit(f2, t2, y2, p0=(y2[0], 1))

plt.title('Fitted data on two different domains')
plt.xlabel('t [a.u.]')
plt.ylabel('y [a.u.]')
plt.plot(t, y, '-o', label='Data')
plt.plot(t1, f1(t1, *popt_1), '--', color='#ff7f0e', lw=3, label='Fit')
plt.plot(t2, f2(t2, *popt_2), '--', color='#ff7f0e', lw=3, label='_nolegend_')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

会产生以下情节：

请注意，结果“复合”函数在边界处不连续。如果不希望这样，您可以通过在拟合另一个域（一种方式或另一种）之前固定一个拟合参数（例如k）来解决。或者，您可以分别拟合两个区域，然后将边界处的值确定为两个单独函数（即y_b = (f1(t1[-1], *popt_1) + f2(t2[0], *popt_2)) / 2）的平均值，然后通过约束参数来满足该边界条件，从而重复拟合。

例如，首先拟合线性函数，然后固定指数的d参数，以便在边界处进行连续过渡（请注意，线性函数f1是外推的< / em>在其域t2[0]之外，以确保连续性）：

f1 = lambda x, m, c: m*x + c
popt_1, pcov_1 = curve_fit(f1, t1, y1, p0=((y1[-1] - y1[0]) / (t1[-1] - t1[0]), y1[0]))

d = f1(t2[0], *popt_1)
f2 = lambda x, k: d*np.exp(-k*(x - boundary))
popt_2, pcov_2 = curve_fit(f2, t2, y2, p0=(1,))

会产生以下情节：

Answer 2

非常有趣的问题。正如a_guest所说，您将不得不分别适合两个区域。但是，我想您可能还希望两个区域在t0点（我们从一种模型切换到另一种模型的点）处平滑连接。为此，我们需要在点y1 == y2处添加约束t0。

为了使用scipy执行此操作，请使用SLSQP方法查看scipy.optimize.minimize。但是，我写了一个scipy包装器来简化这种事情，称为symfit。我将向您展示如何使用symfit执行此操作，因为我认为它更适合该任务，但是在此示例中，如果您愿意，您也应该可以使用纯scipy来实现它。

from symfit import parameters, variables, Fit, Piecewise, exp, Eq
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t, y = variables('t, y')
m, c, d, k, t0 = parameters('m, c, d, k, t0')

# Help the fit by bounding the switchpoint between the models
t0.min = 0.6
t0.max = 0.9

# Make a piecewise model
y1 = m * t + c
y2 = d * exp(- k * t)
model = {y: Piecewise((y1, t <= t0), (y2, t > t0))}

# As a constraint, we demand equality between the two models at the point t0
# to do this, we substitute t -> t0 and demand equality using `Eq`
constraints = [Eq(y1.subs({t: t0}), y2.subs({t: t0}))]

# Read the data
tdata, ydata = np.genfromtxt('Experimental Data.csv', delimiter=',', skip_header=1).T

fit = Fit(model, t=tdata, y=ydata, constraints=constraints)
fit_result = fit.execute()
print(fit_result)

plt.scatter(tdata, ydata)
plt.plot(tdata, fit.model(t=tdata, **fit_result.params).y)
plt.show()

Answer 3

如果您希望使用一个方程式，我发现Hocket-Sherby方程“ y = b-（ba）* exp（-c *（x ** d））”似乎很适合您数据，得出R平方为0.99，RMSE为11.2，参数a = 1.1262189756312683E + 01，b = 3.2040596733114870E + 02，c = 3.9385197507261771E-01，d = -4.7723382040098095E + 00