偏序 - 有限集 - 最小元

Question

通过归纳证明。非空有限上的每个偏序设置至少一个最小元素。

我如何解决这个问题？

Answer 1

如果poset中只有一个元素，则很简单。现在假设对于所有尺寸组合都是如此＆lt; ñ。将第n个元素与我们知道存在的（n-1）poset的最小元素进行比较。它将是新的最小的或不是或无与伦比的。两种方式无关紧要。 （为什么？）

Answer 2

如果部分订单的大小为1，则很明显。

假设部分订单<n属实，然后取部分订单(P,<)的尺寸为n。

在x中选择P。让P(<x) = { y in P : y<x }

如果P(<x)为空，则x是最小元素。

否则，P(<x)严格小于P，因为x不在P(<x)。所以poset (P(<x),<) 必须有一个最小元素y。

此y必须是P的最小元素，因为如果z<y中有P，那么z<x，因此z位于P(<x)且小于y，这与y中P(<x)最小的假设相矛盾。