Question

这是理查德·伯德（Richard Bird）的《从功能与思维》（Haskell）的思考（第158页）中的一个例子。有人可以解释一下1,2,3和4背后的原因吗？

编辑。我了解由第一个定义形成的前三个方程。对于1.，为什么要求和？它与T（++）（n，m）=Θ（n）的关系如何？对于第二个定义，我理解前两个语句。第三个（2.），为什么是k + n？对于3和4。我完全迷路了

首先考虑concat的以下两个定义：

concat xss= foldr (++) [] xss 
concat' xss = foldl (++) [] xss

如果xss是一个有限列表，则这两个定义是等效的。假设xss是长度为m的列表，长度为n。然后第一个定义给出

T(concat)(m, n) = T(foldr (++) [])(m, n),
T(foldr (++) [])(0, n) = Θ(1), 
T(foldr (++) [])(m+1, n) = T(++)(n, mn) + T(foldr (++) [])(m, n).

之所以产生估计值T（++）（n，mn），是因为将长度为n的列表与长度为mn的列表连接在一起。由于T（++）（n，m）=Θ（n），我们得到

1. T(foldr (++) [])(m,n) = Σ_{k=0}^{m} Θ(n) = Θ(mn)

对于concat的第二个定义，我们有

T(concat')(m, n) = T(foldl (++))(0, m, n),  
T(foldl (++))(k, 0, n) = O(1), 
2. T(foldl (++))(k, m+1, n) = T(++)(k, n) + T(foldl (++))(k+n, m, n).

附加参数k表示foldl的第二个参数中累加列表的长度。这次我们获得了

3. T(foldl (++)) (k,m,n) = Σ_{j=0}{m-1} Θ(k+jn) = Θ(k+m^2n)

因此

4. T(concat')(m, n) = Θ(m_2 n)

Answer 1

对于1.，为什么要求和？它与T(++)(n, m) = Θ(n)有何关系？

总和来自归纳定义。考虑这个独立的定义

g(0,n) = something
g(m+1,n) = f(m,n) + g(m,n)

通过归纳，我们得到

g(m,m)
= f(m-1,n) + g(m-1,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + g(m-2,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + g(m-3,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + ... + f(m-m,n) + g(m-m,n)
= f(m-1,n) + f(m-2,n) + f(m-3,n) + ... + f(m-m,n) + something

因此，结果是f(n,x)的总和，其中x有所不同，加上最后一项something。

在原始定义中，g(m,n)是T(foldr (++) [])(m, n)，而 f(m,n) = T(++)(n, mn)。最后一个术语无所谓，渐近。

对于第二个定义，我理解前两个语句。第三个（2.），为什么是k + n？

在计算foldl (++) x ys时，假设x是长度为k的列表，而ys是长度为{{1}的列表的列表}，其元素的长度为m+1。

现在，递归n方程为：

foldl

递归调用的成本包括（A）foldl (++) x (y:ys) = foldl (++) (x++y) ys的成本，即temp = x++y，和（B）T(++)(k, n)的成本。对于（B），foldl (++) temp ys的长度现在为temp，而length x + length y = k+n的长度为ys（m不受影响）。

所以，我们得到了

对于3.和4.我完全迷失了

在3.中，与对1.所做的一样，我们将T(foldl (++))(k, m+1, n) = A + B = T(++)(k, n) + T(foldl (++))(k+n, m, n).的项与T(++)(k, n)进行变化。请注意，每次递归，k都会增加k，因此我们得到

在4中，我们选择T(++)(k, n) + T(++)(k+n, n) + T(++)(k+n+n, n) + ... = Σ_{j=0}{m-1} T(++)(k+jn, n) = Σ_{j=0}{m-1} Θ(k+jn) = Θ(k+m^2 n)，因为在k=0的定义中，我们最初选择了长度为concat'的{{1}}。因此，只有x=[]可以生存。

concat的运行时间分析

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