2个随机变量之差均匀分布。

Question

给出：

x是分布在[0，1/2]上的随机变量

y是分布在[0，1/2]上的随机变量

定义z = x-y

问题：如果z的分布在[-1/2，+1/2]上是UNIFORM，那么生成该均匀分布的z的x和y的分布是什么？

Answer 1

答案：
y=1/2-x（几乎可以肯定）

证明：
考虑Var（z）。

Var(z)=E{[z-E(z)]^2}
=E{[x-y-E(x-y)]^2}
=E{[[x-E(x)]-[y-E(y)]]^2}
=Var(x)+Var(y)-2*E{[x-E(x)]*[y-E(y)]}

我们知道Var(z)=1/12和Var(x)=Var(y)=1/48。
我们必须有E{[x-E(x)]*[y-E(y)]}=-1/48
请注意，corr(x,y) = E{[x-E(x)]*[y-E(y)]}/sqrt[Var(x)*Var(y)] = -1
x和y必须完全反相关。
因此y=1/2-x（几乎可以肯定）。
人们将能够验证y是否均匀分布在[0，1/2]
并且z=x-y=2x-1/2在[-1/2，1/2]上是统一的。