通过平方求幂

Question

我一直在尝试确定一种用于计算gcd（（a ^ n + b ^ n），abs（a-b））的较短方法。我注意到，如果我要计算（使用上述公式），则说a = 100和b = 4，从1开始到n结束（一个循环），在某个点上，答案变为常数。对于a = 100，b = 4和n = 100，我创建了一个从1到n的循环，并在每个点上应用公式，第一个答案（n = 1）为8，之后为32，直到n变为100。为了进行优化，一旦找到两个相等的连续数字，并且最新的数字（此处为32），我就会跳出循环。有谁知道一个简单的公式来计算gcd（（a ^ n + b ^ n），a-b），或者更好的是，我主要关心的是一个用于找到（a ^ n + b ^ n）的全局公式

注意： 1. 1 <= a，b，n <= 10 ^ 12

（a ^ n-b ^ n）可以简化为https://math.stackexchange.com/questions/406703/how-to-simplify-an-bn。但是找不到（a ^ n + b ^ n）的版本
在罗里·道顿（Rory Daulton）的哀悼之后，我在函数中实现了下面所示的平方求幂

上述解释的Python套件如下：

a, b, n = map(int, raw_input().split()); ans = -1

if a == b:
    ans = (a**n) + (b**n)

else:
    for j in xrange(n):
        x = gcd((a**n)+(b**n),abs(a-b))

        if x != ans:
            ans = x
        else:
            break
print ans

通过平方求幂

def pow3(x, n):
r = 1
while n:
    if n % 2 == 1:
        r *= x
        n -= 1
    x *= x
    n /= 2
return r

Answer 1

我看到两种加快代码速度的方法。

首先，使用数学事实

gcd(r, s) = gcd(r % s, s)

（如果s不为零）。因此，您无需完全计算a**n + b**n，只需要对a - b取模即可。然后，您可以找到(a**n) % (a-b)和(b**n) % (a-b)，然后将它们取模a - b，然后添加它们。

现在，通过exponentiation by squaring method查找a**n。这涉及一个执行log2(n)次的循环。在循环的每次遍历中，取余数a - b来保持数字较小并加快计算速度。

所以有您的算法。在每个步骤中通过平方和模取幂，求出(a**n) % (a-b)和(b**n) % (a-b)。然后添加它们并再次取模数。最后，使用a - b查找该值的GCD。

在某些情况下，例如a - b素数，我可以看到一些快捷方式。正如您所指出的，数的幂的模数确实会重复。然而，对于大的a - b来说，找出它们何时重复是一个不平凡的问题，尤其是如果a - b是复合的并且难以分解的话。除非您有关于a - b的值和其他参数的其他信息，否则建议您不要使用重复。如果a和b的值很小并且事先已知（例如在您的a = 100和b = 4的示例中，则重复更具吸引力，您可以预先计算）幂模数96的值。

您可能应该使用Python的内置pow函数，而不是使用此代码。 See here作为文档。提示@DSM。

根据要求，这是我的求模例程，通过对给定数取平方来求平方。当然，可以进行一些更改。此版本不对参数进行错误检查，并进行了一些小改动以提高效率。

def exp_by_squaring_mod(x, n, mod):
    """Calculate x**n % mod by squaring. This assumes x and n are non-
    negative integers and mod is a positive integer. This returns 1 for
    0**0.
    """
    result = 1
    x %= mod
    # Reduce n and keep constant the value of result * x**n % mod
    while n:  # while n is not zero
        if n & 1:  # n is odd
            result = result * x % mod
        x = x * x % mod
        n >>= 1  # integer divide by 2
    return result

Answer 2

尝试使用这种方法来优化您的幂运算：

def powerBySquaring(x,n):
    if n < 0:
        x = 1 / x
        n = -n
    if n == 0: return 1
    y = 1
    while n > 1:
        if n % 2 == 0:
            x = x * x
            n = n / 2
        else:
            y = x * y
            x = x * x
            n = (n-1)/2
    return x * y

GCD指数

通过平方求幂

2 个答案: