问题重述

Question

我想要一种解决此问题的方法。
我们有两个整数序列a[1...n]和b[1...n]。每次我们可以从a[1...n]中选择一个子序列（连续元素）并将x（任意数）添加到所有子序列中。我们的目标是使每个i的步数最少：a[i] = b[i] (module 5)
（5是问题标题中m的示例）
限制：

1 <= n <= 10^6
1 <= a[i],b[i] <= 10^9

例如：
a = 1 2
b = 3 4
最少：1
有可能给我一种解决方法吗？谢谢。

Answer 1

问题重述

我们有两个整数数组a和b，长度为n。
我们有一个模数m； m = 5在您的示例中。
我们的目标是更改a的值，使所有(a[i] - b[i]) % m == 0的{{1}}。
我们希望以最少的步骤达到目标。
在每个步骤中，我们向i至x的所有连续元素中添加一个任意整数a[i]。
关于每一步可以进行多少计算，我们还没有说过。我们将尝试将其最小化，但是如果我们不得不花费二次，三次甚至是阶乘时间，那似乎是允许的。

分析

首先，请注意，通过将所有a[j]的值都设置为零并将b的每个值都调整为a[i]，可以大大简化问题。然后我们只是忽略(a[i] - b[i]) % m，只考虑b取模a的值，目标变成“ m中的所有值都必须为零”。例如：

简化为：

m = 5
a = [1234, 5678, 9012, 3456]
b = [3141, 2718, 1414, 4242]

很显然，我们可以通过简单地分别更改每个非零值来达到目标。我们可以对此进行改进吗？有时。例如，这可以通过两个步骤解决：

a = [3, 0, 3, 4]

稍微复杂一点的示例需要四个步骤：

a = [2, 2, 2, 2, 0, 3]

据我所知，每当有一系列以相同数字开头和结尾的数字时，将端点全部更改为零不会有任何惩罚：

a = [2, 1, 2, 2, 1, 2, 0, 3]
   + 3, 3, 3, 3, 3, 3
a = [0, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 3]
   do the rest individually

一步将两个数字归零。除非中间所有数字都为零，否则中间的数字不会变差，即使那样，总步数也可以是两个。

算法

尽管我无法严格证明它，但这里的算法似乎是最佳的：

a = [..., 3, ?, ?, ?, ?, ?, ?, 3, ...]
   +      2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
a = [..., 0, ?, ?, ?, ?, ?, ?, 0, ...]

示例

让我们将其应用于上面的示例数据，并查看其工作原理。

range = entire array
while true:
    move endpoints inward to skip zeroes
    if endpoints pass each other:
        everything is zero, halt
    if endpoints have equal value X:
        add (5 - X) % m to range, which will zero out endpoints
        loop
    (endpoints are unequal)
    for each endpoint:
        identify the "run" of equal numbers R at the endpoint
          (might be just one)
        skip any zeroes after the run ("after" means "inward")
        identify the next number N after the run and zeroes
    if N of endpoint x equals R of endpoint y:
        zero out the run at endpoint x
        this will set up an advantageous equal-endpoint in next step
        loop
    (neither N equaled opposite R)
    zero out whichever run is longer
    loop

该算法按预期执行了4个步骤。

具有相同模块的两个顺序和最少步骤

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