应将劣于机器精度的矩阵项切成零？

Question

我有一个使用双精度复数算法的代码，该代码形成大而稀疏的矩阵（这要归功于PETSc），以便解决通常需要高精度的流体力学稳定性问题（结果收敛到7/8位）

通过并行LU分解求解所得线性系统Ax = b。我的目标是解决大型3D问题，以使矩阵的领先维度可以达到数千万。

矩阵包含有限差分法的权重乘以所求解的不同物理方程式（流量，雷诺数...）和度量项的系数所得的元素。

如果一个矩阵项的绝对值低于双精度机器精度，则将其丢弃并将其切零。您会认为这是一种理智的方法，或者至少是毫无意义的吗？原因之一是我们要保存所有可能的兆字节内存。但是有争议的是

• “很小”的条目可能会污染LU倒置过程，并在增加填充量时使其变得不稳定。

• 如果在该过程中使用接近机器精度的矩阵条目，那么我认为涉及这些条目的任何算术运算的结果都可以视为“不可靠”吗？如果是，我不知道为什么要保留它们。

我知道机器精度是与最小可表示正数不同的概念。因此，我的推理可能在概念上是错误的，并且很乐意听取您的意见或更正。 谢谢！

Answer 1

这个问题的答案是“取决于情况”，正如其他人已经暗示的那样。但是，可以准确说明答案的依据。

假设您要求解线性系统，

，

其中A和b是矩阵和适当尺寸的向量。现在，您解决​​了扰动的线性系统

，

摄动矩阵E满足该条件

。

如果，则

，

其中是在行和范数中测得的A的条件。

（例如，可以在Golub，van Loan 矩阵计算第3章中找到此结果。）

换句话说，如果更改矩阵的项，则结果将通过每行的总扰动（是行和范数）乘以矩阵条件的倍数而变化。

因此，如果在乘以矩阵条件后，相对于A 的行和范数，每行的总扰动仍然很小，则允许矩阵的扰动。

当然，此结果仅适用于精确计算。但是，如我们所见，为了允许扰动矩阵，矩阵的条件数应足够小。因此，在这种情况下，如果干扰很小，则被干扰矩阵的条件数也将很小，并且在这种情况下，LU分解不会带来任何问题。