最小化两段路线的最大长度

Question

假设平面上有N个起点和N个有向线段（具有起点和终点）。通过从某个起点到某个路段的起点，再到该路段的终点来构造N条路线。路线的长度是从起点到路段起点的距离加上该路段的长度。问题是要在起点和路段之间找到一对一的匹配（可能是多个），以最大程度地减少匹配中路线的最大长度。

示例：
点X：（100100）
Y点：（200 200）
点Z：（300300）
段S1：开始（200 230）结束（180 220）
段S2：开始（190190）结束（400400）
S3段：开始（250 250）结束（700 700）
可能的答案之一：
X-S2
Y-S3
Z-S1

我的最佳尝试是构造一个从点i到段j的路由长度的NxN矩阵，迭代滤除该矩阵中的最大元素，然后应用Hopcroft–Karp算法检查该图的N对匹配由过滤后的矩阵生成的结果存在。这种方法的最坏情况是O（N ^2.5 ）* O（N ² ）= O（N ^4.5 ）。有没有更快的算法可以解决这个问题？

如果所有点的坐标都是整数并且长度由Manhattan distance定义（即，所有长度也是整数），也可以改进算法吗？

Answer 1

之后

  

构造从点i到路段j的路线长度的NxN矩阵

您遇到的优化问题称为Bottleneck Assignment Problem。

This stack exchange post讨论了一种以O（N ^ 2.5 * log N）运行的“简单”算法。

基本思想是对参数t进行二进制搜索。在每次迭代中，您将丢弃成本> t的所有配对（矩阵项）。然后，您执行双向匹配算法（例如Hopcroft–Karp）。如果找到完全匹配，则减小t的值（将其减半），否则增大t的值（将其加倍）。当可能的t值不再更改输入时，您可以停止。