使一个术语属于Coq中的两种不同类型的不同层次结构？

Question

从类型的层次结构中我们了解到Set是Type(0)，而Type(i)的类型是Type(i+1)。因此，对于t的任何术语Type(i)，它也是Type(i+1)的术语。有可能在Coq中使用此构造？例如，假设我们有

                              apple: Fruit, apple : Food

并且由于水果是食物，所以我想构造Fruit和Food类型，使得Fruit属于Type(i)，而Food属于{{ 1}}，其中i Type(j)。 Coq是否有这种可能性？如果没有，是否有其他方法可以用这种结构形成某种东西？

Answer 1

原则上，可以将apple定义为一种类型，以实现所需的目标：

Definition Food := Type.
Definition Fruit : Food := Type.
Inductive apple : Fruit :=.

Check apple : Fruit.
Check apple : Food.

这将定义一个名为apple的新（空）类型常量，如您所愿，它属于Fruit和Food。

但是，我怀疑这样的编码在实践中不是很有用。例如，如果不假设Coq核心之外的非构造公理，就不可能在类型Fruit上定义相等运算符。而且，Fruit和Food将是非常奇怪的类型，因为它们将包含许多违反直觉的居民。例如，术语apple -> apple也具有类型Fruit。我们需要更多上下文来确定此编码是否会对您的开发造成任何麻烦。

（在Coq中，通常不使用子类型，而是使用coercions或子集类型{x : T | P x}来达到类似的效果。例如检查this answer或this question ）