我想使用集合，为此尝试使用MSets库。但我需要将函数从一种类型的集合写入另一种类型的集合，并且它与Coq的模块系统交互不良。
这是我面临的一个问题的例子。我希望有T类型的集合和T*T的集合。我添加了投影函数proj1和proj2以从一组对中获取一组值，并使用函数add_l和add_r从值中创建一组对一组价值观。
我使用nat实例化我的模块。我创建了一组nat并致电add_l，但Coq不知道SNat.t和S.S1.t是相同的。在这里，我可以直接创建一组类型S.S1.t，但如果必须与更复杂的环境进行交互，则会更加困难。
是否可以让Coq了解SNat.t和S.S1.t是否相同？或者我的问题有另一种解决方案吗？
Require Import MSets.
Module DecidablePair (DT1:DecidableType) (DT2:DecidableType) <: DecidableType.
Definition t : Type := DT1.t * DT2.t.
Definition eq x y := DT1.eq (fst x) (fst y) /\ DT2.eq (snd x) (snd y).
Lemma eq_equiv : Equivalence eq.
Proof.
split.
- split; reflexivity.
- split; symmetry; apply H.
- split.
+ transitivity (fst y). apply H. apply H0.
+ transitivity (snd y). apply H. apply H0.
Qed.
Lemma eq_dec : forall x y, {eq x y} + {~ eq x y}.
Proof.
intros.
destruct (DT1.eq_dec (fst x) (fst y)).
- destruct (DT2.eq_dec (snd x) (snd y)).
+ left. split; assumption.
+ right. intros contra. apply n. apply contra.
- right. intros contra. apply n. apply contra.
Qed.
End DecidablePair.
Module MakePair (DT1: DecidableType) (DT2:DecidableType) <: WSets.
Module S1 := MSetWeakList.Make DT1.
Module S2 := MSetWeakList.Make DT2.
Module DT := DecidablePair DT1 DT2.
Include MSetWeakList.Make DT.
Definition proj1 (s:t) := fold (fun x e => S1.add (fst x) e) s S1.empty.
Definition proj2 (s:t) := fold (fun x e => S2.add (snd x) e) s S2.empty.
Definition add_l (a:S1.elt) (s2:S2.t) := S2.fold (fun x e => add (a, x) e) s2 empty.
Definition add_r (s1:S1.t) (a:S2.elt) := S1.fold (fun x e => add (x, a) e) s1 empty.
End MakePair.
Module SNat := MSetWeakList.Make Nat_as_DT.
Module S := MakePair Nat_as_DT Nat_as_DT.
Definition s1 := SNat.add 0 (SNat.add 4 SNat.empty).
Definition s := S.add_l 1 s1.