解决随机最大二分匹配问题

Question

我遇到了以下问题：

• 有两个不相交的集合，A和B
• 表示每对元素（a，b）（a属于集A，其中b属于集B ）事先知道概率pij。它表示a匹配b的概率（确定性级别），或者换句话说，a与b的匹配程度（反之亦然），因为{{1} } == pij）。
• 我必须找到具有最高概率/确定性的匹配，并找出描述匹配的对（pji，a）
• 每个元素必须与另一个元素中的另一个元素匹配/配对一次（如标准的二分匹配问题）
• 如果可能的话，我想计算一个近似表示所得匹配的不确定性水平的数字（假设0代表随机猜测，1代表确定性）

下面描述了一个需要这种算法的简单实例（实际上这不是我要解决的问题！）：

• 要求两个人写信 a - z在一张纸上
• 对于每对字母（b，a），我们运行模式匹配器以确定由人b写的字母a代表字母{{1}的概率由人A写的。这给了我们 表达某种相似性相关性的概率矩阵 对于每对字母（b，B）
• 对于a人写的每封信， 我们需要找到相应的 由人b
写的信

目前的方法： 我想知道我是否可以只分配与确定性水平/概率的对数成比例的权重，来自集合A的元素B与集合a中的元素A匹配然后运行最大加权二分匹配以找到最大总和。对数是因为我想最大化多次匹配的总概率，并且因为单个匹配（表示为匹配元素对b - B）形成一系列事件，这是概率的乘积通过取对数，我们将其转换为概率之和，然后使用加权二分匹配算法（如匈牙利算法）轻松实现最大化。但我怀疑这种方法可以确保在统计预期最大值方面达到最佳匹配。

搜索了一下之后，我发现的最接近的问题是两阶段随机最大加权匹配问题，这是NP难的，但我实际上需要某种“一阶段”随机最大加权匹配问题。

Answer 1

我想知道你是否可以使用MaxFlow / MinCut。我现在无法证明它是最优的，但无论如何你的问题可能是NP难的。当你有一个V =（A，B）的二分图时，你可以使用MF / MC找到一个完美的匹配，方法是创建一个连接到A中所有节点的源，权重为1，接收器连接到B中的所有节点重量1.我建议你让从A到B交叉的边的权重是你上面提到的概率。你觉得怎么样？