Question

我有以下类型族：

{-# LANGUAGE TypeFamilies #-}
{-# LANGUAGE DataKinds #-}

data Nat = Z | S Nat
type family WrapMaybes (n :: Nat) (a :: *) :: *
type instance WrapMaybes Z a = a
type instance WrapMaybes (S n) a = Maybe (WrapMaybes n a)

这通常可以按预期运行，例如WrapMaybes (S (S Z)) Int ~ Maybe (Maybe Int)。

现在，显然（嗯，也许是出于终止的原因？！）以下通勤身份成立：WrapMaybes n (Maybe a) ~ Maybe (WrapMaybes n a)

GHC本身无法推断该属性，因此，我正在寻找添加该公理的方法，最好是通过一些补充证明。到目前为止，我想出的最好的方法是coincident overlap in type families。但是建议的语法似乎不再起作用（type instance where会触发语法错误），因此我只使用了这一点：

type instance WrapMaybes n (Maybe a) = Maybe (WrapMaybes n a)

但这使GHC再次抱怨：

Conflicting family instance declarations:
  WrapMaybes 'Z a = a
  WrapMaybes n (Maybe a) = Maybe (WrapMaybes n a)

Conflicting family instance declarations:
  WrapMaybes ('S n) a = Maybe (WrapMaybes n a)
  WrapMaybes n (Maybe a) = Maybe (WrapMaybes n a)

所以：

是否有办法使建议的机制起作用？例如。如何摆脱语法错误？
GHC Haskell中重合还是重叠吗？
还有什么其他机制可以向GHC教授必要的公理？

Answer 1

GHC Haskell确实仍然存在重合类型的家庭重叠，如here所述。 GHC 8.4.3仍然接受文档中的示例以及您链接到的博客文章。

但是，我不认为巧合的重叠对您有帮助，因为根据GHC使用的语法相等性检查，RHS不相等（不相等）。基本上，对于巧合的重叠类型家庭观念行之有效，GHC已经必须知道您要“证明”的财产。

要实际证明这一点，每当需要使用此事实时，都需要将想要的类型相等性引入到类型化环境中。一种方法是使用:~:中的Data.Type.Equality：

data a :~: b where  -- See Note [The equality types story] in TysPrim
  Refl :: a :~: a

这里的基本思想是，当您使用a :~: b构造函数创建类型为Refl的值时，GHC必须知道a ~ b。稍后在此Refl构造函数上进行模式匹配时，您会将这种相等性重新引入到GHC的键入环境中。您可以使用它来建立归纳证明。

但是，为了能够建立归纳证明，您将需要能够基于Nat的值进行分支，而data SNat (n :: Nat) where SZ :: SNat 'Z SS :: SNat n -> SNat ('S n)的值完全在类型级别上是无法做到的。为了解决这个问题，我们可以引入一个“单一” GADT：

SNat

当对类型n的值进行模式匹配时，由于wrapMaybeComm' :: forall n a. SNat n -> WrapMaybes n (Maybe a) :~: Maybe (WrapMaybes n a)类型的GADT结构，您将在类型环境中引入有关类型级自然值的信息变量。

这意味着我们可以编写具有以下类型的函数：

这里的想法是，如果给它一个（值级别的见证人）一个类型级别的自然WrapMaybes n (Maybe a)，它将返回一个见证人Maybe (WrapMaybes n a)与以下事实相同： wrapMaybeComm'。当您对该证人进行模式匹配时，GHC将确信该事实是真实的，并能够使用它。

我们现在可以为0编写一个定义，看起来非常像是必要事实的归纳证明。基本情况是wrapMaybeComm' SZ = Refl：

n = 0

在Maybe a ~ Maybe a时，GHC可以立即看到该wrapMaybeComm'。

在归纳情况下，我们需要致电wrapMaybeComm' (SS m) = case wrapMaybeComm' @_ @a m of Refl -> Refl：

Refl

WrapMaybes m (Maybe a) ~ Maybe (WrapMaybes m a)上的模式匹配告诉GHC n ~ 'S m，其中WrapMaybes n (Maybe a) ~ WrapMaybes ('S m) (Maybe a) {- defn. of m -} ~ Maybe (WrapMaybes m (Maybe a)) {- defn. of WrapMaybes -} ~ Maybe (Maybe (WrapMaybes m (Maybe a))) {- IH -} ~ Maybe (WrapMaybes ('S m) (Maybe a)) {- defn. of WrapMaybes -} ~ Maybe (WrapMaybes n (Maybe a)) {- defn of m -}。这样，GHC可以看到

Refl

因此知道右侧的SNat会进行类型检查。

如果您不想在各处随身携带KnownNat，可以通过class KnownNat (n :: Nat) where getSNat :: SNat n instance KnownNat 'Z where getSNat = SZ instance KnownNat n => KnownNat ('S n) where getSNat = SS getSNat wrapMaybeComm :: forall n a. (KnownNat n) => WrapMaybes n (Maybe a) :~: Maybe (WrapMaybes n a) wrapMaybeComm = wrapMaybeComm' @n @a getSNat类的定义将它们替换为（有时更安静）typeclass字典，如下所示：< / p>

要实际使用该定理，每当您有一个表达式n时，GHC因为不知道与a和case wrapMaybeComm @n @a of Refl -> e的相等性而拒绝进行类型检查，则可以改写-XGADTs，它应该可以工作。

该方法可用于向GHC教授各种有趣的归纳事实。在一般情况下，GHC当然不能知道所有相等的类型，因为这将要求GHC能够确定功能非常强大的逻辑系统的任意定理，而这是不可能的。但是，有趣的归纳定理的许多证明都可以很容易地转换成这种样式，在依赖类型的语言中，这种变体（无需额外的单例工作）很常见。

旁注：要使用上述功能，您将需要一些额外的GHC Haskell扩展。

SNat n ：SNat单例必须是GADT，以确保每个n都有一个值（特别是SS { {1}}个应用于SZ）。
-XScopedTypeVariables ：这是确保对证明函数的调用使用正确的类型所必需的。
-XTypeOperators ：给定代码使用:~:中的Data.Type.Equality，它是类型运算符。但是，可以使用不是类型运算符的等效定义（例如Equal a b而不是a :~: b）。
-XAllowAmbiguousTypes ：给定的定义具有GHC所谓的歧义类型（这些函数需要额外的类型签名和/或可见的类型应用程序才能消除某些tyvar的歧义）。可以通过使用更多Proxy参数来解决此问题。
-XTypeApplications ：此（@tyvar语法）用于方便地指定类型变量。但是，应该可以用（有些烦人/冗长的）显式类型注释代替。

用自己的证明丰富约束求解器

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