Question

好的，我有一个问题。我有一套各种尺寸的瓶装“A”，里面装满了水。然后我又买了一套各种尺寸的“B”瓶，都是空的。

我想将水从A转移到B，知道每组的总容量是相同的。（即：A组含有与B组相同的水量）。

这当然是微不足道的，只需拿B中的第一个瓶子，倒入A中的第一个瓶子直到它满了。然后，如果B中的瓶子中还有水，请继续使用A中的第二个瓶子等

但是，我希望尽量减少灌注总量（从一个瓶子倒入另一个瓶子的动作，每个动作计数1，与其涉及的水量无关）

我想找到一个贪婪的算法来做到这一点，或者如果不可能，至少是一个有效的算法。然而，效率是算法正确性的次要因素（我不想要一个次优的解决方案）。

当然，这个问题只是计算机程序中管理个人开支的真实问题的隐喻。

Answer 1

坏消息：通过减少子集和来解决这个问题。给定数字x ₁，...，x _n，S，子集和的对象是确定x _i的某个子集总和为S.我们生产容量为x ₁，...，x _n的A瓶和容量为S且（x _{1 + ... + x _n - S）并确定n次浇注是否足够。}

好消息：任何贪婪的策略（即选择任何非空的A，选择任何未填充的B，倾倒直到我们必须停止）是2近似（即，最多使用两倍于最佳的倾倒）。最优解决方案至少使用max（| A |，| B |）pours，而greedy最多使用| A | + | B |，因为每当贪婪倾倒时，无论是A排水还是B充满，都不需要倒出或倒入。

~~可能有一个近似方案（任何ε> 0的a（1 +ε） - 近似。）~~我认为现在更有可能出现不可接近性结果 - 通常的获取技巧近似方案似乎不适用于此。

以下是一些可能导致实用精确算法的想法。

给定一个解决方案，绘制一个左顶点A和右顶点B以及a到b的（无向）边的二分图，当且仅当{ {1}}被填入a。如果解决方案是最佳的，我声称没有循环 - 否则我们可以消除循环中最小的灌注并替换循环周围的丢失体积。例如，如果我已经倾倒

然后我可以像a1 -> b1: 1 a1 -> b2: 2 a2 -> b1: 3 a2 -> b3: 4 a3 -> b2: 5 a3 -> b3: 6一样消灭：

a1 -> b1

现在，由于图表没有周期，我们可以将边数（pours）计算为a2 -> b1: 4 (+1) a2 -> b3: 3 (-1) a3 -> b3: 7 (+1) a3 -> b2: 4 (-1) a1 -> b2: 3 (+1)。这里唯一的变量是连接组件的数量，我们希望最大化。

我声称贪婪算法形成没有循环的图形。如果我们知道最佳解决方案的连接组件是什么，我们可以在每个组件上使用贪婪算法并获得最佳解决方案。

解决这个子问题的一种方法是使用动态编程来枚举B的A和Y的所有子集对X，使得sum（X）== sum（Y），然后将它们馈送到精确的覆盖算法中。这两个步骤当然都是指数级的，但它们可能在真实数据上运行良好。

Answer 2

这是我的看法：

识别两组中具有完全相同尺寸的瓶子。这转化为这些相同尺寸瓶子的一对一倾倒。
按容量降序排列A中剩余的瓶子，然后按升序对B中剩余的瓶子进行分类。计算在A到B中倾倒排序列表时所需的浇筑次数。

更新：在步骤2中每次浇筑后，重复步骤1.（Steve Jessop建议的优化步骤）。冲洗并重复，直到所有的水都被转移。

Answer 3

我认为这给出了最小的注意次数：

import bisect

def pours(A, B):
    assert sum(A) == sum(B)
    count = 0
    A.sort()
    B.sort()
    while A and B:
        i = A.pop()
        j = B.pop()
        if i == j:
            count += 1
        elif i > j:
            bisect.insort(A, i-j)
            count += 1
        elif i < j:
            bisect.insort(B, j-i)
            count += 1
    return count

A=[5,4]
B=[4,4,1]
print pours(A,B)
# gives 3

A=[5,3,2,1] 
B=[4,3,2,1,1]
print pours(A,B)
# gives 5

用英文写着：

声明两个列表具有相同的总和（我认为如果sum(A) > sum(B)或sum(A) < sum(B)为真，算法仍然有效）
取两个列表A和B，对它们进行排序

当A不为空且B不为空时：

从A（j）中取i（最大）来自B
如果我等于j，倒入j并计算1倒
如果i大于j，请将i倒入j，将i-j余数放回A（使用插入排序），计数1倒
如果我小于j，倒入j，将j-i余数放回B（使用插入排序），计数1倒

“将水从一组瓶子转移到另一瓶子”的算法（比喻说）

3 个答案: