Question

我正在尝试了解以下任务的解决方案：从大小为N的数组中随机生成一组M个元素。每个元素的选择概率必须相同。

我找到了以下解决方案（我已经读过this question和this one，但是我仍然有一些问题太长，无法发表评论）：

int rand(int min, int max) { 
  return min + (int)(Math.random() * (max - min + 1));
}

int[] generateSet(int[] arr, int m, int n) {
    if (n + 1 == m) { //base case
        int[] set = new int[m];
        for (int k = 0; k < m; k++) {
            set[k] = arr[k];
        }
        return set;
    }

    int[] set = generateSet(arr, m, n - 1);
    int r = rand(0, n);
    if (r < m) set[r] = arr[n];
    return set;
}
// rand() function returns inclusive value 
// i.e. rand(0, 5) will return from 0 to 5

此代码可在“破解编码访谈”一书中找到（硬性部分，任务3）。作者解释如下：

假设我们有一个算法可以从大小为m的数组中提取n - 1个元素的随机集合。我们如何使用该算法从大小为m的数组中提取n个元素的随机集合？我们首先可以从前n - 1个元素中提取大小为m的随机集。然后，我们只需要确定是否应将array[n]插入子集（这将需要从中抽出一个随机元素）。一种简单的方法是从0到n中选择一个随机数k。如果为k < m，则将array[n]插入subset[k]中。这样既可以“公平地”（即，具有成比例的概率）将array[n]插入子集中，也可以“公平地”从子集中删除随机元素。迭代编写甚至更干净。在这种方法中，我们将数组子集初始化为原始数组中的前m个元素。然后，我们遍历数组，从元素m开始，每当array[i]时将k插入（随机）位置k < m的子集中。

我完全理解基本情况。它说：如果我们有一个大小为N和M == N的数组，那么，我们应该从该数组中返回第一个M元素，因为每个都将以相等的概率被选中。

比我根本不了解的困难部分（递归情况）

代码从大小为M的数组中生成大小为N - 1的集合
现在，代码应决定是否向集合中添加“ {new}”元素arr[N]
代码由M / N概率决定添加或不添加“新”元素。随机工作如下：
1. 在r和0之间生成随机数N
2. 如果(r < m)表示r的产生概率为M / N
3. 如果(r < m)也意味着我们将以概率1 / M更改集合中M个元素之一。

更新：

我不理解以下内容：想象一下，我们有一个包含N-1个元素的盒子。我们从中获取M个元素。因此，获得一组元素的可能性为：

Pa(get any set with M elements using N-1 elements) = 1 / ((N-1)! / M!(N-1-M)!) = M!(N-1-M)!) / (N-1)!

很明显，如果我们将所有元素放回框中，而不是再次获取M元素，我们将始终以相同的概率创建一个集合。

好吧，让我们假设我们采用了M个元素。因此，box现在包含N-1-M个元素。

因此，这是递归情况开始的地方：现在我们从口袋里拿出一个新元素。现在，我们应该决定是否修改集。

从这一点开始，我完全不知道下一步该怎么做。我的猜测：

当我们有N-1个元素时，生成具有M个元素的任何集合的概率为：

Pa(get any set with M elements using N-1 elements) = M!(N-1-M)!) / (N-1)!

但是我们又添加了一个新元素。现在我们应该生成任何M元素集，其概率必须等于Pa。但是现在新的可能性将是：

Pb = 1 / (N! / !M(N-M)!) = M!(N-M)!) / N!

所以我们需要找到一种方法，以某种方式将Pb转换为Pa，即

!M(N-M)!) / N!至!M(N-1-M)!) / (N-1)!

使用一些魔术（我仍然不知道它是如何工作的）递归案例来做到这一点：

致电R = rand（0，X）（我不知道X是什么）。如果R等于某个Y（我不知道Y值是多少），则意味着我们应该使用新元素。
如果R等于Y，则调用rand（0，M）生成将使用新元素更新的索引

问题： 1.如何计算X和Y值？

Answer 1

有choose(n, m) = n! / (m! (n-m)!)种方法可以从包含m个元素的集合中选择n个元素。您想以均等的概率选择这些安排中的任何一种。

关于是否采用给定元素not有两种选择：

选择“ this”元素，然后从m-1个元素中选择n-1个元素；
还是不选择“ this”元素，而不是从m元素中选择n-1元素。

您必须做出选择，才能产生频率相等的任何安排

P(pick) = (# arrangements which pick "this" element) / (# arrangements)
        = (# arrangements which pick "this" element) / (# arrangements which pick "this" element + # arrangements which do not pick "this" element)
        = A / (A + B)

为方便起见，引入了A和B。

A = choose(n-1, m-1) 
  = (n-1)! / (m-1)!(n-m)!

B = choose(n-1, m) 
  = (n-1)! / m!(n-m-1)!

将A和B的分子和分母相乘，使它们的公因数为(n-1)! / m!(n-m)!：

A = m     * (n-1)! / m!(n-m)!
B = (n-m) * (n-1)! / m!(n-m)!

然后：

P = m / (m + n - m)
  = m / n

根据需要。

根据大小为N

更新：

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