协方差结果矩阵的解释

Question

我试图从读取协方差矩阵的结果中弄清楚。我知道结果符号是否均> 0，则表示阵列朝相同方向移动。

x = np.array([[10,39,19,23,28],
              [43,13,32,21,20],
              [15,16,22,85,15]])

print(np.cov(x))

如何解释这个结果？

[[ 115.7  -120.55  -18.6 ]
 [-120.55  138.7   -76.35]
 [ -18.6   -76.35  933.3 ]]

编辑：除了Luca的答案之外，我还添加了一个简单的折线图，以帮助可视化数据的分布（方差）和移动（协方差）。

Answer 1

协方差矩阵

covariance matrix是一个 nxn 对称矩阵，其中 n 是您开始使用的矩阵的列数，并显示矢量变量协变量，表示它们趋于相对于彼此移动的方式。

组件

在主对角线上找到矢量的方差，在所有其他坐标上找到协方差，因为var（X）= cov（X，X）。

正负系数

在主对角线上，任何值都不能为负，因为它们表示矢量的方差。在任何其他位置上，协方差可以作为两个standard deviations（始终为非负数）（ s （X）和 s （ Y））和Pearson correlation coefficient p ，它们在[-1，1]之间变化：这是使值为正或负的系数。

cov （X，Y）= p （X，Y） s （X） s （是）

有三种可能性：

1. p （X，Y）== 0：向量之间没有相关性。
2. p （X，Y）> 0：正相关，这意味着当向量X增大时，Y的大小也会增大。
3. p （X，Y）<0：负相关，这意味着当向量X增大时，Y的大小会减小。

标准偏差对矩阵系数的影响为“正”幅值，这意味着当数据点的标准偏差较高时，它们会显示出更多的相关性。

可视化

为了更好地可视化矩阵的内容，我使用了heatmap python包中的seaborn函数。我也是  添加了相关矩阵以更好地比较结果。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns

x = np.array([[10,39,19,23,28],
            [43,13,32,21,20],
            [15,16,22,85,15]])

plt.rcParams['figure.figsize'] = [10, 5]
plt.axis('scaled')
plt.subplot(1,2,1)
sns.heatmap(np.cov(x), 
        annot=True,
        cbar = False,
        fmt="0.2f",
        cmap="YlGnBu",
        xticklabels=range(len(x)),
        yticklabels=range(len(x)))
plt.title("Covariance matrix")
plt.subplot(1,2,2)
sns.heatmap(np.corrcoef(x), 
        annot=True,
        cbar = False,
        fmt="0.2f",
        cmap="YlGnBu",
        xticklabels=range(len(x)),
        yticklabels=range(len(x)))
plt.title("Correlation matrix")

输出：

解释

第三个向量与其他向量相比，具有极高的方差。所有向量都具有负相关，尤其是向量1和2是强相关的。向量1和3的相关性最低。