在Agda中使用隐式参数

Question

我刚从阿格达（Agda）开始，并一直遵循LearnYouAnAgda tutorial，其中向我展示了这一身份证明：

proof : (A : Set) → A → A
proof _ x = x

据我了解，_是省略参数(A : Set)所必需的。我想使用一个隐式参数来允许我省略_：

-- using implicit parameter
proof' : {A : Set} → A → A
proof' x = x

此证明有效。然后，我想将其应用于特定情况，如本教程中所述。我定义ℕ并为我要证明的内容提供类型签名：

data ℕ : Set where
  zero : ℕ
  suc : ℕ → ℕ

idProof : ℕ → ℕ

本教程中使用proof给出的构造函数为：

idProof = proof ℕ

我对此并不完全了解，因为考虑到我们已经定义的构造函数，我希望proof需要2个参数。

我想用proof'写一个构造函数，但发现以下任何一项都不起作用：

idProof = proof' ℕ
idProof = {x : ℕ} → proof' x
idProof = {x : Set} → proof' x

使用求解器，但是我发现这可行：

idProof = proof' (λ z → z)

我的问题是：

1. proof和proof'有什么区别？

2. 为什么为ℕ使用单个参数proof是可以接受的？

3. 为什么使用proof'的三个构造函数不起作用？

奖金：

对idProof = proof' (λ z → z)的工作方式（尤其是lambda）进行一些小小的解释将不胜感激，除非这可能超出了我目前对Agda的理解水平。

Answer 1

  

我不太了解这一点，因为考虑到我们已经定义的构造函数，我希望proof需要2个参数。

proof确实需要2个参数。但是idProof也需要一个参数。

写作时

idProof : ℕ → ℕ
idProof = proof ℕ

这等同于首先引入idProof的{​​{1}}，然后将其传递给ℕ。

proof ℕ

  

我想使用证明来编写构造函数”，但发现以下任何一项均无效：

• idProof : ℕ → ℕ idProof n = proof ℕ n

idProof = proof' ℕ的{​​{1}}参数是隐式的。因此，无需显式传递A。您只需编写proof'，然后让Agda找出ℕ应该是idProof = proof'。

• A和ℕ

idProof = {x : ℕ} → proof' x类型为idProof = {x : Set} → proof' x，但是idProof用于构造ℕ → ℕ，而不是构造函数，因此它无法工作。

  

奖金：关于{x : _} → ...的工作原理的简短说明（尤其是lambda）

Set试图根据其参数和所使用的孔的类型来确定idProof = proof' (λ z → z)应该是什么。这里：

• 它传递了一个标识函数，因此proof' : {A : Set} -> A -> A对于某些A应该具有A的形状；
• 它用于B -> B类型的孔中，因此B的形状应为ℕ → ℕ。

结论：Agda为A选择了ℕ → ℕ。