跟进检查x是否大于最小堆中第k个最小的数字

Question

感谢RunOrVeith撰写原始问题（Check if x is bigger than k-th smallest number in a min-heap ）和杜克林提供答案。它有助于我更好地理解分析。

但是，关于这个主题，我还有另一个基本问题。

以下实现来自Skiena的教科书。我了解两个停止条件  1.当计数达到零时，我们发现小于x的k个数字和  2.没有更多要比较的节点。

我听到一个关于为什么算法正确的论点是，无论n的大小如何，搜索都将在我们查看2k个节点后立即终止，并且在找到足够多的小于x和如果我们找不到它们，那是因为我们找到了足够多的较大的物体，从而阻止了这种可能性。这个想法似乎是正确的，但是我不能用数学的方式提出这个想法，有人可以帮忙吗？

有人可以提供一些建议吗？

int pq_young_child(int n)
{
    return 2 * n;
}
int heap_compare(priority_queue *q, int i, int count, int x)
{
    if ((count <= 0) || (i > q->n)) return(count);
    if (q->q[i] < x) {
        count = heap_compare(q, pq_young_child(i), count-1, x);
        count = heap_compare(q, pq_young_child(i)+1, count, x);
    }
    return(count);
}