版本1

Question

我的算法类中的一个任务是设计一个详尽的搜索算法来解决clique问题。也就是说，给定大小 n 的图表，该算法应该确定是否存在大小 k 的完整子图。我想我已经得到了答案，但我不禁想到它可以改进。这就是我所拥有的：

版本1

输入：由数组A [0，... n -1]表示的图形，子图的大小 k 找到。

输出：如果存在子图，则为True，否则为False

算法（在类似python的伪代码中）：

def clique(A, k):
    P = A x A x A //Cartesian product
    for tuple in P:
        if connected(tuple):
            return true
    return false

def connected(tuple):
    unconnected = tuple
    for vertex in tuple:
        for test_vertex in unconnected:
            if vertex is linked to test_vertex:
                remove test_vertex from unconnected
    if unconnected is empty:
        return true
    else:
        return false

版本2

输入：大小为n乘n的邻接矩阵，k为要查找的子图的大小

输出：A中大小为k的所有完整子图。

算法（这次是在函数/ Python伪代码中）：

//Base case:  return all vertices in a list since each
//one is a 1-clique
def clique(A, 1):
    S = new list
    for i in range(0 to n-1):
        add i to S
    return S

//Get a tuple representing all the cliques where
//k = k - 1, then find any cliques for k
def clique(A,k):
    C = clique(A, k-1)
    S = new list
    for tuple in C:
        for i in range(0 to n-1):
            //make sure the ith vertex is linked to each
            //vertex in tuple
            for j in tuple:
                if A[i,j] != 1:
                    break
            //This means that vertex i makes a clique
            if j is the last element:
                newtuple = (i | tuple) //make a new tuple with i added
                add newtuple to S
    //Return the list of k-cliques
    return S

有人有任何想法，意见或建议吗？这包括我可能错过的错误以及使其更具可读性的方法（我不习惯使用很多伪代码）。

版本3

幸运的是，在提交作业之前，我和我的教授谈过了。当我向他展示我写的伪代码时，他微笑着告诉我，我做了太多的工作 way 。首先，我没有提交伪代码;我只需证明我理解了这个问题。还有两个，他想要蛮力解决方案。所以我上交的内容看起来像这样：

输入：图表G =（V，E），要找到的集团的大小 k

输出：如果clique确实存在则为True，否则为false

算法：

找到笛卡尔积V ^k。

对于结果中的每个元组，测试每个顶点是否彼此连接。如果全部已连接，则返回true并退出。

返回false并退出。

更新：添加了第二个版本。虽然我没有添加任何花哨的动态编程（我知道），但我认为这会越来越好。

更新2 ：添加了更多评论和文档，以使版本2更具可读性。这可能是我今天转的版本。谢谢大家的帮助！我希望我能接受不止一个答案，但我接受了最能帮助我的人的答案。我会让你们知道我的教授的想法。

Answer 1

一些意见：

你只需要考虑n-choose-k顶点组合，而不是所有k元组（n ^ k）。
connected(tuple)看起来不正确。你不需要在循环中重置unconnected吗？
正如其他人所建议的那样，有更好的方法可以强制执行此操作。考虑以下递归关系：如果前k个顶点形成一个clique并且顶点（k + 1）与每个前k个顶点相邻，则A（k + 1） - 子图是一个集团。您可以在两个方向上应用此方法：
- 从1-clique开始，逐渐扩大集团，直到获得所需的大小。例如，如果m是当前clique中的最大顶点，请尝试添加顶点{m + 1，m + 2，...，n-1}以获得一个顶点更大的clique。（这类似于深度优先树遍历，其中树节点的子节点是大于当前集团中最大顶点的顶点。）
- 从所需大小的子图开始，并使用递归关系检查它是否为clique。设置memoization表以存储结果。
（实现建议）使用邻接矩阵（0-1）表示图中的边。
（初始修剪）丢弃程度小于k的所有顶点。

Answer 2

我曾经使用算法来查找图表中的所有最大派系，这与您的问题类似。我这样做的方式是基于这篇论文：http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=362342.362367 - 它描述了一个回溯解决方案，我发现它非常有用作为指南，尽管我从那篇论文中做了很多改变。虽然你需要订阅才能获得，但我认为你的大学将有一个可用。

关于那篇论文的一件事是，我真的认为他们应该将“未设置”命名为“已经考虑过的设置”，因为它太混乱了。

Answer 3

算法“对于每个k元组的顶点，如果它是一个集团，那么返回true”肯定是有效的。然而，这是一种蛮力，这可能不是算法课程所寻求的。相反，请考虑以下事项：

每个顶点都是1-clique。
对于每个1-clique，连接到1-clique中的顶点的每个顶点都有助于2-clique。
对于每个2-clique，连接到2-clique中每个顶点的每个顶点都会产生3-clique。
...
对于每个（k-1）-clique，连接到（k-1）clique中每个顶点的每个顶点都有助于k-clique。

这个想法可能会带来更好的方法。

Answer 4

也许尝试dynamic programming technique。

Answer 5

令人惊讶的是，输入内容的问题将向您展示您刚刚撰写的内容。这一行：

P = A x A x A  //Cartesian product

应该是这样的：

P = A ^k //笛卡儿积

你是什么意思A ^ k？你正在服用基质产品吗？如果是这样，A是一个邻接矩阵（你说它是一个n + 1个元素的数组）？

在setbuilder表示法中，它看起来像这样：

P = {（x0，x1，... xk）| x0∈A和x1∈A......和xk∈A}

它基本上只是A的笛卡尔乘积k次。在纸面上，我写下来，因为k是A的上标（我刚才想到如何使用降价来做到这一点）。

另外，A只是每个顶点的数组而不考虑邻接。

Clique问题算法设计

版本1

版本2

版本3

5 个答案: