Question

我有一组数据，我用 kind = 'cubic'进行插值。

我想找到这个三次插值函数的最大值。

目前我所做的只是找到插值数据数组中的最大值，但我想知道作为对象的插值函数是否可以区分以找到它的极值？

代码：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt

x_axis = np.array([ 2.14414414,  2.15270826,  2.16127238,  2.1698365 ,  2.17840062, 2.18696474,  2.19552886,  2.20409298,  2.2126571 ,  2.22122122])
y_axis = np.array([ 0.67958442,  0.89628424,  0.78904004,  3.93404167,  6.46422317, 6.40459954,  3.80216674,  0.69641825,  0.89675386,  0.64274198])

f = interp1d(x_axis, y_axis, kind = 'cubic')

x_new = np.linspace(x_axis[0], x_axis[-1],100)

fig = plt.subplots()
plt.plot(x_new, f(x_new))

Answer 1

三次样条的导数是二次样条。 SciPy只有一个内置方法来查找三次样条曲线的根。所以有两种方法：

使用4度样条进行插值，以便可以轻松找到其导数的根。
使用三次样条（通常更可取），并为其派生的根编写自定义函数。

我在下面描述了两种解决方案。

第4度样条

使用InterpolatedUnivariateSpline。.derivative方法返回一个三次样条曲线，可以应用.roots方法。

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline
f = InterpolatedUnivariateSpline(x_axis, y_axis, k=4)
cr_pts = f.derivative().roots()
cr_pts = np.append(cr_pts, (x_axis[0], x_axis[-1]))  # also check the endpoints of the interval
cr_vals = f(cr_pts)
min_index = np.argmin(cr_vals)
max_index = np.argmax(cr_vals)
print("Maximum value {} at {}\nMinimum value {} at {}".format(cr_vals[max_index], cr_pts[max_index], cr_vals[min_index], cr_pts[min_index]))

输出：

最大值6.779687224066201，电话：2.1824928509277037
最低值0.34588448400295346在2.2075868177297036

三次样条

我们需要一个二次样条曲线根的自定义函数。这是（在下面解释）。

def quadratic_spline_roots(spl):
    roots = []
    knots = spl.get_knots()
    for a, b in zip(knots[:-1], knots[1:]):
        u, v, w = spl(a), spl((a+b)/2), spl(b)
        t = np.roots([u+w-2*v, w-u, 2*v])
        t = t[np.isreal(t) & (np.abs(t) <= 1)]
        roots.extend(t*(b-a)/2 + (b+a)/2)
    return np.array(roots)

现在完全如上所述，除了使用自定义解算器。

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline
f = InterpolatedUnivariateSpline(x_axis, y_axis, k=4)
cr_pts = quadratic_spline_roots(f.derivative())
cr_pts = np.append(cr_pts, (x_axis[0], x_axis[-1]))  # also check the endpoints of the interval
cr_vals = f(cr_pts)
min_index = np.argmin(cr_vals)
max_index = np.argmax(cr_vals)
print("Maximum value {} at {}\nMinimum value {} at {}".format(cr_vals[max_index], cr_pts[max_index], cr_vals[min_index], cr_pts[min_index]))

输出：

最大值6.782781181150518，电话：2.1824928579767167
最低值0.45017143148176136在2.2070746522580795

第一种方法中输出的轻微差异不是错误; 4度样条和3度样条有点不同。

`quadratic_spline_roots`

假设我们知道-1,0,1处的二次多项式的值是u，v，w。它在[-1,1]区间的根源是什么？通过一些代数，我们可以发现多项式是

((u+w-2*v) * x**2 + (w-u) * x + 2*v) / 2

现在可以使用二次公式，但使用np.roots会更好，因为它也会处理领先系数为零的情况。然后将根过滤到-1到1之间的实数。最后，如果间隔是[a，b]而不是[-1,1]，则进行线性变换。

加值：中间范围的三次样条的宽度

假设我们想要找到样条曲线取值等于其最大值和最小值（即其中间值）的平均值的位置。那么我们肯定应该使用三次样条进行插值，因为现在需要roots方法。人们不能只做(f - mid_range).roots()，因为SciPy不支持向样条添加常量。而是从y_axis - mid_range构建一个向下移动的样条曲线。

mid_range = (cr_vals[max_index] + cr_vals[min_index])/2
f_shifted = InterpolatedUnivariateSpline(x_axis, y_axis - mid_range, k=3)
roots = f_shifted.roots()
print("Mid-range attained from {} to {}".format(roots.min(), roots.max()))

中期范围从2.169076230034363到2.195974299834667

找到1d插值函数的最大值/最小值

1 个答案:

第4度样条

三次样条

`quadratic_spline_roots`

加值：中间范围的三次样条的宽度