最小多核算法如何避免简单的解决方案？

Question

我一直在阅读有关用于分割图形结构的多核算法的一些论文。我特别感兴趣的是这项工作提出了一种算法来解决多重问题的扩展：

https://www.cv-foundation.org/openaccess/content_iccv_2015/papers/Keuper_Efficient_Decomposition_of_ICCV_2015_paper.pdf

关于边缘成本，它说：

  

......对于任何一对   节点，对所有分解的实值成本（奖励）   这些节点属于不同的组件

足够公平。它进一步说，多重问题的解决方案是一个简单的二进制向量，其长度等于图中边缘的数量，其中a＆＃39; 1＆＃39;表示相应的边分隔属于不同图形组件的两个顶点：

  

对于每个边vw∈E∪F，y（v，w）= 1当且仅当v和w   属于G的不同组成部分。

然后优化问题写成：

这似乎没有意义。如果边权重描绘了连接不同组件中节点的边缘的奖励，那不应该是最大化问题吗？在任何一种情况下，如果所有边权重都是正数，那么会导致一个简单的解决方案，其中y是一个全零向量？上面的表达式后面是文章中的一些约束，但我无法弄清楚其中任何一个如何阻止这种结果。

此外，当它后来尝试使用Greedy Additive Edge Contraction生成初始解决方案时，它说：

  

ALG。 1从分解开始   单个节点。在每次迭代中，连接一对相邻组件，其中连接减少了目标   价值最大化。如果没有加入严格降低目标   值，算法终止。

同样，如果边缘权重是保持节点分离的奖励，那么不会加入任何两个节点会降低奖励吗？即使我假设边缘权重是保持节点分离的惩罚，但是这种方法不会简单地将所有节点整合到一个组件中吗？

我看到这种方法的唯一方法是边缘权重是正值和负值的平衡组合，但我很确定我错过了一些东西，因为这个约束不是在文学的任何地方提到过。

Answer 1

引用此multicut lecture

  

最小Multicut。输入由加权的无向图G组成   =（V，E）对于E中的每个边缘具有非负权重c_k，以及一组终端对{（s1，t1）;（s2，t2）...（sk，tk）}。 multicut是一组   去除了每个终端对的边缘。

我认为从这个定义可以清楚地看出，多重问题是累积权重的最小化问题，其通过选择要切割的边来定义。最大化重量当然是微不足道的（去除所有边缘）。否？

Answer 2

迟到总比没有好，这是答案：

切割边缘 e 的权重 c_e 不限于定义1中定义的正值。实际上，等式（7）指定它们是对数-两个互补概率的比率。这意味着如果边缘e被切割的估计概率大于0.5，则 c_e 将为负。如果较小，则 c_e 将为正。

尽管微不足道的“全边裁切”解决方案仍然可行，但在任何“非玩具”实例中，最优也不太可能是最优的，在这种情况下，您的边更有可能被削减，而其他人更有可能留下来。