寻找ODE积分器/求解器，对衍生精度有一种放松的态度

Question

我有一个（一阶）ODE系统，计算衍生工具相当昂贵。

然而，导数可以在给定的误差范围内以相当低的成本计算，或者因为导数是从收敛级数计算的，并且边界可以放在丢弃项的最大贡献上，或者通过使用存储的预计算范围信息。 kd-tree / octree查找表。

不幸的是，我无法找到任何可以从中受益的一般ODE解算器;他们似乎只是给你坐标，并希望得到一个确切的结果。 （请注意，我不是ODE的专家;我熟悉Runge-Kutta，数字解析书中的材料，LSODE和Gnu科学图书馆的求解器。）

即对于我见过的所有解算器，您提供derivs回调函数，接受t和x数组，并返回dx/dt数组背部;但理想情况下，我正在寻找一个提供回调t，x s，和一系列可接受错误，并接收dx/dt_min和{{1数组返回，导数范围保证在所需的精度范围内。 （可能有许多同样有用的变体）。

任何针对此类设计的解决方案的指针，或问题的替代方法（我不能相信我是第一个想要这样的人）将不胜感激。

Answer 1

粗略地说，如果你知道f'达到绝对误差eps，并从x0积分到x1，那么来自导数误差的积分误差将是＆lt; = eps *（x1-x0） 。您的ODE解算器也会出现离散化错误。考虑一下eps *（x1 - x0）有多大，并为ODE求解器提供f'值，计算误差<= eps。

Answer 2

我不确定这是一个很好的问题。

在许多算法中，例如，非线性方程求解，f（x）= 0，导数f'（x）的估计就是在牛顿方法中使用所需的全部因为你只需要进入答案的“大方向”。

然而，在这种情况下，导数是你正在解决的（ODE）方程的主要部分 - 得到导数错误，你只会得到错误的答案;这就像尝试用f（x）的近似值来求解f（x）= 0。

正如另一个答案所示，如果你将ODE设置为应用f（x）+ g（x），其中g（x）是一个错误术语，你应该能够将你的衍生物中的错误与你的错误联系起来。输入。

Answer 3

在考虑了这个之后，我想到间隔算术可能是关键。我的derivs函数基本上返回间隔。使用区间运算的积分器将x维持为间隔。我感兴趣的是在最终x的{​​{1}} s上获得足够小的误差限制。一种显而易见的方法是迭代地重新整合，提高样本的质量，每次迭代引入最大的误差，直到我们最终获得具有可接受范围的结果（尽管听起来它可能是“治愈比疾病更糟糕”）总体效率）。我怀疑自适应步长控制可以很好地适应这种方案，选择步长以保持“隐式”离散误差与“显式误差”即间隔范围相当。

无论如何，谷歌搜索“颂歌解算器间隔算术”或只是“间隔颂歌”会出现一堆有趣的新的和相关的东西（VNODE及其特别引用）。

Answer 4

如果你有一个僵硬的系统，你将使用某种形式的隐式方法，在这种情况下，导数只在牛顿迭代中使用。使用近似雅可比矩阵将使您在牛顿迭代中花费严格的二次收敛，但这通常是可以接受的。或者（大多数情况下，如果系统很大）你可以使用一个无Jacobian的Newton-Krylov方法来解决阶段，在这种情况下，你的近似Jacobian变成了一个预处理器，你在牛顿迭代中保留了二次收敛。

Answer 5

您是否考虑过使用odeset？它允许您为ODE求解器设置选项，然后将选项结构作为第四个参数传递给您调用的任何求解器。错误控制属性（RelTol，AbsTol，NormControl）可能是您最感兴趣的。不确定这是否真的是你需要的那种帮助，但这是我能想到的最好的建议，几年前最后一次使用MATLAB ODE功能。

此外：对于用户定义的导数函数，您是否可以将公差编码到衍生函数的计算中，或者您是否真的需要从求解器传递误差限制？

Answer 6

不确定我做出了多少贡献，但在制药模型领域，我们使用LSODE，DVERK和DGPADM。 DVERK是一个很好的快速简单订单5/6龙格 - 库塔解算器。 DGPADM是一个很好的矩阵指数求解器。如果你的ODE是线性的，那么矩阵指数是最好的。但是你的问题有点不同。

顺便说一下，T论证只是为了普遍性。我从未见过依赖T的实际系统。

你可能正在进入新的理论领域。祝你好运！

补充：如果你正在进行轨道模拟，在我看来，我听说过基于圆锥曲线的特殊方法。

Answer 7

检查具有线性基函数和中点正交的有限元方法。解决以下ODE只需要对每个元素的f（x），k（x）和b（x）进行一次评估：

-k（x）u''（x）+ b（x）u'（x）= f（x）

答案的逐点误差与评估中的误差成正比。

如果您需要更平滑的结果，您可以使用二次基函数，每个元素对上述每个函数进行2次评估。