如何使用半空间测试确定点是在线段的前面还是后面？

Question

如何确定一个点是否在半空间测试的前面？我尝试了以下内容。它的工作时间大多数，但其他人失败了。是否存在不起作用的情况？例如，只有当所有点都在某些象限内时它才会起作用吗？如果没有，我做错了什么？

我试过了：

bool PointInFrontOfLine(Point testPoint, Point v1, Point v2)
{
    // Compute line normal
    double dx = v2.x - v1.x;
    double dy = v2.y - v1.y;
    double nx = -dy;
    double ny = dx;
    double length = sqrt(dx * dx + dy * dy);
    nx /= length;
    ny /= length;
    glm::vec3 normal(nx, 0, ny);

    glm::vec3 vec(testPoint.x - v1.x, 0, testPoint.y - v1.y);

    double distance = glm::dot(vecTemp, normal);

    if (distance > 0)
        return true;
    else
        return false;
}

Answer 1

你实际做的是计算由点v1和v2定义的线的（左转）法线向量：

double dx = v2.x - v1.x;
double dy = v2.y - v1.y;
double nx = -dy;
double ny = dx;
double length = sqrt(dx * dx + dy * dy);
nx /= length;
ny /= length;
glm::vec3 normal(nx, 0, ny);

这可以简化：

glm::vec3 normal(v1.y - v2.y, 0, v2.x - v1.x);
normal = glm::normalize(normal);

注意，对于算法，您甚至可以跳过规范化，然后您将无法获得正确的法线distance，但distance的符号仍然正确。这样就足够了，因为您只需检查distance > 0：

glm::vec3 normal(v1.y - v2.y, 0, v2.x - v1.x);

然后检查normal向量与v1到testPoint的向量之间的角度是否大于-90度且小于+90度：

glm::vec3 vec(testPoint.x - v1.x, 0, testPoint.y - v1.y);
double distance = glm::dot(vecTemp, normal);

这是有效的，因为通常2个向量的 dot 乘积等于2个向量之间的角度的余弦乘以两个向量的幅度（长度） 。如果角度的余弦>> 0，则角度在[-90°，90°]范围内。

dot( A, B ) == length( A ) * length( B ) * cos( angle_A_B )  

但算法只有v2.x < v1.x（在下面的图片中，x轴从左到右指向，y轴指向从下到上）：

如果交换了2个点（v2.x > v1.x），那么你会得到相反的结果：

最后，代码可以这样表达：

glm::dot(glm::vec2(testPoint.x-v1.x, testPoint.y-v1.y),
         glm::vec2(v1.y-v2.y, v2.x-v1.x)) * glm::sign(v1.x-v2.x) > 0

结果仍然取决于“前面”的意思。在我的假设中，它意味着，testPoint的y坐标小于线v1到v2的交点的y坐标，并且通过y轴的平行线testPoint。这意味着如果此算法始终计算“在前面”或“在后面”，它取决于您的程序逻辑和坐标系。