无法理解余弦相似性的python函数

Question

我正在通过blog中的示例来理解推荐系统中使用的协同过滤方法。我遇到了余弦相似性，表示为

在python中使用numpy将其写为

def similarity(ratings, kind='user', epslion=1e-9):
      if kind == 'user' :
         sim = ratings.dot(ratings.T)
      elif (kind=='item'):
          sim = ratings.T.dot(ratings) + epslion
      norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])

      return  (sim / norms / norms.T )

  

问题

1. 代码中规范计算背后的数学是什么
2. 等式中(sim / norms / norms.T )如何等于sim(u,u`)

提前感谢您的时间 - 如果我错过了任何内容，请在评论中过度强调或强调一个特定的要点。

Answer 1

评级存储在numpy矩阵ratings中，其中行对应于用户（索引u），而列对应于项目（索引i）。由于您要计算sim(u, u')，即用户之间的相似度，我们假设低于kind = 'user'。

现在，让我们首先看一下没有平方根缩放因子的r_{ui}r_{u'i}。该表达式总结为i，可以解释为r的矩阵乘法与r的转置，即：

\sum_i r_{ui}r_{u'i} = \sum_i r_{ui}(r^T)_{iu'} =: s_{uu'}

如上所述，我们将结果矩阵表示为s（代码中的变量sim）。根据定义，此矩阵是对称的，其行/列标有“用户”索引u/u'。

现在，缩放“因子”f_{u} := \sqrt\sum_i r^2_{ui}实际上是一个用u索引的向量（其中每个项都是矩阵r的相应行的欧几里德范数）。但是，在构建s_{uu'}之后，我们可以看到f_{u}只不过是\sqrt s_{uu}。

最后，感兴趣的相似性因子是s_{uu'}/f{u}/f{u'}。发布的代码为所有索引u/u'计算此值，并将结果作为矩阵返回。为此，它：

1. 将sim（上面的矩阵s）计算为ratings.dot(ratings.T)
2. 获取其对角线的平方根（上面的向量f）为np.sqrt(np.diagonal(sim))
3. 以有效的方式对s进行行/列缩放，然后将其表示为二维数组norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])（请注意帖子中缺少的[]）< / LI>
4. 最后，矩阵s_{uu'}/f{u}/f{u'}计算为sim / norms / norms.T。此处，由于norms具有形状(1, num_of_users)，因此第一个分区执行列缩放，而norms.T分割则缩放行。