为什么指数IEEE754（单个）限制在2 ^ { - 126}＆lt; = e＆lt; = 2 ^ {127}之间？

Question

我指的是这个问题，但我对答案不满意：IEEE-754 32 Bit (single precision) exponent -126 instead of -127

答案是否意味着实际上指数可以是，但由于非规范化形式的表示，最小的正数为等于。

这是否意味着最小的可表示正数是：

或

最后两个选项中的哪一个？

非常感谢你。

再次感谢大家，你们都给出了很好的解释！

Answer 1

在IEEE-754基本32位二进制浮点中，每个有限值都具有以下形式：

  

±x.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx•2 ^e

其中x.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx是二进制数字，-126≤ e ≤+ 127。

对于正常数字，第一个x为1， e 可以是-126≤ e ≤+ 127的任何值。由于第一个x始终为1，因此未明确存储 - 浮点格式包含符号的一位，其他x的23位和指数的8位。指数存储为 e +127的二进制数。因此，对于 e ，从-126到+127，存储的值为1到254.即0和255。

指数字段中的

0是次正规数的代码。对于次正规数，指数 e 与最低正常指数-126相同，但第一个x为0.因此，次正规值的形式为：

  

±0.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx•2 ^-126

因此，可以表示的最小正值是：

  

+ 0.00000000000000000000001•2 ^-126

是2 ^-149 。

（指数字段中的255用于表示无穷大和NaN。）

Answer 2

  

为什么指数IEEE754（单个）限制在2 ^ { - 126}＆lt; = e＆lt; = 2 ^ {127}之间？   改写：
  为什么指数IEEE754（单个）限制在-126＆lt; = exponent＆lt; = 127？

之间

binary32有一个8位偏置指数字段，允许256个值。可以选择更宽/更小的指数字段，但这里是8。 2个值0和255具有特殊含义，留下254.

在20世纪70年代，人们得出结论，对称分布这些偏置指数值+/-约为零，通过采用127偏移导致254值-126到+127。

正常值的形式为：sign *（1.xxx ...总计23 x＆＃39; s ... xxx）* 2 ^{指数 - 偏移量}提供24位二进制精度。

由于各种数值计算的原因（经过多次辩论），得出的结论是|值|小于最小正常正数1.0 * 2 ^{1 - 127} 应该逐渐失去精确度。这些是次正常或denormal数字。它们使用偏置指数 0和编码，其结果指数为-126 ，为最小正常数。

         v--------------------------------------- Implied valued              
         | v--------------------------v---------- Significant explicitly encoded
         | |                          |     v---- Biased exponent
         | |                          |     | v-v Implied offset  
2^-126 = 1.000 0000 0000 0000 0000 0000 * 2^1-127 // smallest normal
         0.111 1111 1111 1111 1111 1111 * 2^0-126 // largest sub-normal
2^-127 = 0.100 0000 0000 0000 0000 0000 * 2^0-126
2^-128 = 0.010 0000 0000 0000 0000 0000 * 2^0-126
2^-129 = 0.001 0000 0000 0000 0000 0000 * 2^0-126
...
2^-149 = 0.000 0000 0000 0000 0000 0001 * 2^0-126 // smallest sub-normal
0.0f   = 0.000 0000 0000 0000 0000 0000 * 2^0-126 // zero

因此，低至2 ^-127 的值具有24位精度，而低于2 ^-149 的值的精度不断下降。

Answer 3

这很简单：-126被选择用于非正规数，因此在最小法线和最大法线之间没有步骤。

最低法线是

  

1.0000 ... _bin ×2 ^-126

下面有一个“ULP”

  

0.1111 ... _bin ×2 ^-126

如果它是2 ^-127 ，那么在这两个值之间将存在几个“ULP”（或甚至许多“ULP”）的步骤。