Question

我必须证明（^正在加强权力）：

n^2 = O(2^n)
n^2 = Θ(2^n)
8^n = O(4^n)
8^n = Ω(4^n)

是否有理论方法始终可以知道它是 true 还是 false ，并进行演示？

Answer 1

这些是限制计算问题：

f(n) = O(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = 0
                                       n -> +inf

f(n) = Θ(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = some positive finite number
                                       n -> +inf 

f(n) = Ω(g(n))   if and only if      lim (f(n)/g(n)) = +inifinity
                                       n -> +inf

或者，将其颠倒过来

Let x = lim(f(n)/g(n))
          n -> +inf

x = 0 ?                          then f(n) = O(g(n))
x = some postive finite number ? then f(n) = Θ(g(n)) 
x = +infinity ?                  then f(n) = Ω(g(n))

因此，我们必须计算限制，例如在第一种情况下：

 lim(n^2/2^n) = 0 (apply l'Hospital's rule twice)
   n -> +inf

这就是为什么n^2 = O(2^n)等：

 n^2 = O(2^n)  - true
 n^2 = Θ(2^n)  - false, in fact O(2^n)
 8^n = O(4^n)  - false, in fact Ω(2^n) 
 8^n = Ω(4^n)  - true

Answer 2

您需要查看the definition of each of the terms并从中进行操作。

我们需要1.我们需要 k 和 n ₀ ，以便

| 名词 ² | ≤ k ·2 ⁿ n ＆gt; 名词 <子> 0

例如，在这种情况下， k = 1且 n ₀ = 3。对于 n = 4，我们将得到16≤16，这很好。现在我们可以通过归纳来推理。假设它适用于 n ，看看它是否适用于 n + 1.我们会有

|（ n + 1）² | ≤ k ·2 ^{（ n + 1）}

我们知道一切都是积极的，所以我们可以删除绝对值，我们可以这样操作：

n ² + 2·n +1≤ k ·2 ^{（ n + 1 ）}→ n ² / 2 + n + 1 /2≤ k ·2 ⁿ

现在我们知道 k ·2 ⁿ≥ n ²（归纳假设），因此足以证明

n ² / 2 + n + 1 /2≤ n ²→1/2 + 1 / n + 1 /（2·n ²）≤1

您可以进行更多操作：

n ² - 2·n - 1≥0→（n - 1）² - 2≥0

对于 n ＆gt;而言，这是微不足道的。 n ₀ = 3

我们现在以3为负面的例子。这个是假的，8 ⁿ≠ O （4 ⁿ）。假设这个存在有效的 k 和 n ₀值。然后我后面的步骤，你应该

| 8 ^{n ₀ + i} | ≤ k ·4 ^{n ₀ + i}

所以

k ·4 ^{n ₀ + i} / | 8 ^{n ₀ + i} | ≥1

由于 n ₀且 i 为正，您可以重写为：

k ·（4/8）^{n ₀ + i}≥ 1

但显然 i →∞的不等式左边的极限是0所以 k 和 n ₀不能是有效值。

你应该能够为其他人做出类似的理由。对于2.，Theta涉及两个不等式，你必须证明两者或反驳一个;在这种情况下它是假的，2 ⁿ不是 n ²的下限。对于4.，应该沿着1.（这一个是真的），但扭转了不平等的标志。

如何在没有代码的情况下计算时间复杂度

2 个答案: