Question

使用幂方法实现代码以找到最大特征值和矩阵的相应特征向量没有问题。

我遇到的更多麻烦是考虑一个可以一次输出给定矩阵的所有特征值和特征向量的代码。我可以在一个小矩阵上手动完成，但似乎无法正确地推广它。我怀疑它可以通过一些递归以漂亮的方式完成，但我需要一些帮助。

编辑：此外，我也无法找到所有特征值，它是导致我麻烦的特征向量

以下是手动执行此操作的代码：

#Example matrix
test.set=matrix(0,4,4)
test.set[1,]=c(-2,2,1,5)
test.set[2,]=c(2,5,8,8)
test.set[3,]=c(4,2,6,3)
test.set[4,]=c(5,-2,4,9)

获得一个特征值/特征向量的函数

#Power method simple : return biggest egeinvalue and corresponding eigenvector
power_method_simple=function(A,n_rep) {


  #Initialize with a random column of the matrix
  b_0=A[,sample(1:ncol(A),size=1)]

  for (k in 1:n_rep) {

  b_0=A%*%b_0
  b_0_norm=sqrt(t(b_0)%*%b_0)
  b_0=b_0/b_0_norm[1,1]
  print(b_0)
  }

eigenvalue=(t(b_0)%*%A%*%b_0)[1,1]
res_list=list(b_0,eigenvalue)
names(res_list)=c("vector","eigenvalue")
return(res_list)

}

现在举手示例：

#################
#By hand


#First
res1=power_method_simple(test.set,n_rep=1000)

first_ev=res1$vector
first_value=res1$eigenvalue


#Second
residual_matrix1=test.set-first_value*first_ev%*%t(first_ev)

res2=power_method_simple(residual_matrix1,n_rep=1000)

second_value=res2$eigenvalue
second_ev=(second_value-first_value)*res2$vector + first_value*((t(first_ev)%*%res2$vector)[1,1])*first_ev
second_ev=second_ev/sqrt((t(second_ev)%*%second_ev)[1,1])

#Third
residual_matrix2=residual_matrix1-second_value*res2$vector%*%t(res2$vector)


res3=power_method_simple(residual_matrix2,n_rep=1000)
third_value=res3$eigenvalue

u3=(third_value-second_value)*res3$vector + second_value*((t(res2$vector)%*%res3$vector)[1,1])*res2$vector
u3=u3/sqrt((t(u3)%*%u3)[1,1])

third_ev=(third_value-first_value)*u3 + first_value*((t(first_ev)%*%u3)[1,1])*first_ev
third_ev=third_ev/sqrt((t(third_ev)%*%third_ev)[1,1])


#I works for first three
print(eigen(test.set)$vector)
print(cbind(first_ev,second_ev,third_ev))

我正在使用以下问题的答案来执行此操作：

Answer to: Power method for finding all eigenvectors

如何创建一个干净的功能，可以完成所有功能？

Answer 1

像这样的递归函数似乎有效：

find_vals=function(matrix, values=list(), vectors=list(), evs=list(), n=nrow(matrix)) {
  if (n<1) return(list(values, evs))
  res=power_method_simple(matrix,n_rep=1000)
  curr_val = res$eigenvalue
  res_v = res$vector
  i = nrow(matrix) - n + 1
  values[i] = curr_val
  vectors[[i]] = res_v
  if (i == 1) {
    evs[[i]] = res_v
  } else {
    curr_v = vectors[[i]]
    for (k in (i-1):1) {
      curr_v = (values[[i]] - values[[k]])*curr_v + values[[k]]*((t(vectors[[k]])%*%curr_v)[1,1])*vectors[[k]]
      curr_v=curr_v/sqrt((t(curr_v)%*%curr_v)[1,1])
    }
    evs[[i]] = curr_v
  }
  matrix=matrix-curr_val*res_v%*%t(res_v)
  return (find_vals(matrix, values, vectors, evs, n-1))
}

找到所有特征值和特征向量的幂方法代码（在R中）

1 个答案: