Question

如何快速求解x ^（1 / y）mod m，其中x，y，m都是正整数？

这是为了反转x ^ y mod m的计算。例如

派对A双方乙方提前同意正整数y和m

A方生成一个数字x1（0

B方计算x2 ^（1 / y）mod m，以便它返回x1

我知道如何快速计算x1 ^ y mod m，但我不知道如何快速计算x2 ^（1 / y）mod m。有什么建议吗？

我不知道怎么称呼这个问题。给定x ^ y mod m称为模幂运算，这称为模块根？

Answer 1

我想你问的是这个问题：给定y，m，x ^ y（mod m）的结果找到x（假设0 <= x

一般情况下，这没有解决方案 - 例如，对于y = 2，m = 4,0 ^ 2,1 1,2 ^ 2,2 ^ 2,3 = 0,1,0,1 （mod 4），所以如果给你一个数字mod 4的平方，你就无法取回原来的数字。

但是，在某些情况下，您可以这样做。例如，当m为素数且y与m-1相互作用时。然后可以找到y'，使得对于所有0＆lt; = x＆lt; m，（x ^ y）^ y'= x（mod m）。

注意（x ^ y）^ y'= x ^（yy'）。忽略x = 0时的平凡情况，如果m是素数费马的小定理告诉我们x ^（m-1）= 1（mod m）。因此我们可以解决yy'= 1（mod m-1）。这有一个解决方案（可以使用扩展的欧几里德算法找到），假设y和m-1是互质的。

这是工作代码，示例y = 5，m = 17。它使用https://en.wikibooks.org/wiki/Algorithm_Implementation/Mathematics/Extended_Euclidean_algorithm

中的模块化反码

def egcd(a, b):
    if a == 0: return b, 0, 1
    g, x, y = egcd(b%a, a)
    return g, y - (b//a) * x, x

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise AssertionError('no inverse')
    return x % m

def encrypt(xs, y, m):
    return [pow(x, y, m) for x in xs]

def decrypt(xs, y, m):
    y2 = modinv(y, m-1)
    return encrypt(xs, y2, m)

y = 5
m = 17

e = encrypt(range(m), y, m)
print decrypt(e, y, m)

RSA基于m是两个不同质数p，q的乘积的情况。与上述相同的想法适用，但是需要找到y'使得yy'= 1（mod lcm（（p-1）（q-1）））。与上述不同，只有y和m才能轻易做到这一点，因为没有已知的有效方法可以找到p和q。

快速计算x ^（1 / y）mod m（模块化根）

1 个答案: