C ++：如何计算提升到大功率的数的模数？

Question

我正在解决编程问题，我必须以answer mod 10 ^ 9 + 7格式打印答案，其中'answer'是问题的实际答案。

我已经找到了解决问题的算法，但需要注意的是问题的答案总是格式为m * 10 ^ n，其中

1 <= m <= 8且2 <= n <= 10 ^ 18，即在答案10中可以将其提升到大到10 ^ 18的幂。当然，直接计算10 ^ n可能会溢出。

接下来我该怎么做？

Answer 1

评估10^n mod M：

您需要的是Modular Exponentiation。它可以在(a^b)%m（日志库2）中计算log_2(b)。

示例

我们假设您需要计算10^9。

1. 一种方法是按顺序多次10，9次。

2. 或者，使用分而治之的方法。

   10^9 = (10^8)*(10^1)

   10^8 = (10^4)*(10^4)：您需要计算两次10^4吗？

   10^4 = (10^2)*(10^2)：您需要计算两次10^2吗？

   10^2 = (10^1)*(10^1)

   10^1 = (10^1)*(10^0)

   10^0是基本情况。

   所以，我们基本上做的是：

   1. 如果power是奇数，我们会计算base^(power-1)并将其与base相乘以获得base^power。 [base^power = (base^(power-1)) * base)]
   2. 如果power是偶数，则我们计算base^(power/2)并将其与自身相乘以获得base^power。 [base^power = (base^(power/2)) * (base^(power/2))]。但我们只计算base^(power/2)一次。

计算复杂性：

如上所述here：

  

简要分析表明，这种算法使用floor(log_2(n))方形和   最多floor(log_2(n))次乘法。更准确地说，   乘法次数比存在的次数少一次   在n。

的二进制扩展中

因此，我们可以说运行时的顺序为log_2(n)。 （O(log_2(power))）

评估模数部分：

很容易注意到，在计算与10^(10^18)一样大的值时，我们必然会溢出最大的基本类型（long long int）。在这里输入Modular Multiplication，根据(a * b) % c = ((a % c) * (b % c)) % c。作为旁注，当您直接查看代码时，可能不会看到此规则正在使用中，但如果您评估递归调用，则会使用它。

问题解决了吗？

我们通过计算运行中的模数来防止溢出。比方说，如果我们得到一些值10^9，我们需要将它与自身相乘。溢出？不，这次不是。

ans = ((10^9 % 1000000007) * (10^9 % 1000000007)) % 1000000007
ans = 10^18 % 1000000007
ans = 49

代码：

虽然有多个实现，但这里有一个简单的实现：

const int M = 1e9 + 7;
long long int powxy(long long int x, long long int y) {
    if (y == 0) return 1;
    if (y%2 == 1) return (x*powxy(x, y-1))%M;
    long long int t = powxy(x, y/2);
    return (t*t)%M;
}

经过测试here。