前缀和算法的时间复杂度

Question

鉴于以下伪代码，我想知道在尝试确定时间复杂度时我的思维过程是否正确。

for i = 0 to n-1
   Add the numbers A[0] thru A[i].
   Store the result in B[i].

算法将循环n次，并且由于最后一次迭代将需要最多的计算（n次计算），因此算法将总计进行n^2 + f(n)次计算。其中f(n)是度n^2 或更少的多项式。 因此，此算法为二次O(n^2)。

Answer 1

由于Add the numbers A[0] thru A[i].的时间复杂度为\Theta(i)，因此代码的时间复杂度为\Theta(1 + 2 + 3 + ... + \Theta(n)) = \Theta(n^2)。因此，您对代码的分析是正确的。

Answer 2

我们可以使用以下代码替换您的代码

    for i 0 to n - 1
        for j 0 to i
            b[i] += a[j]   <---

为了找到这个算法的大O，我们需要计算多少 第三行被执行的时间。

为了简单起见，我们假设所有[i]元素都等于1 因此，如果我找到b [i]的总和，当i为0到n -1时 然后我们找到第3行的运行时间。

i: b[i]
0: 1
1: 2
2: 3
..
n - 1: n

因此，所有B [i]的总和是n *（n + 1）/ 2 这是O（n ^ 2）