由 RD（f）和 RU（f）表示通过在浮点运算中评估函数 f 获得的计算近似值分别向下舍入和向上舍入。
假设我们从舍入错误分析中知道
| RD（f） - f | ＆LT; E 和
| RU（f） - f | ＆LT; ë
RD（f）和 RU（f）之间差异的界限是什么，
| RD（f） - RU（f）| ＆LT; E 或
| RD（f） - RU（f）| ＆LT; 2E ？
[UPD]除了评论：
考虑一个带有p = 4的“玩具”十进制浮点系统（精度，有效数字中的总位数，包括小数点左边的一个数字）和一个无界指数。对于此系统，单位舍入u定义如下：
u = 1/2 * 10^{1-4} = 0.0005，
u = 10^{1-4} = 0.001用于任何定向舍入模式。
我们假设需要在这样的系统中计算f = (1.324/1.567 + 1.641/1.878)。
f的确切价值为1.7187285282921926...。
错误分析显示
| RD (f) - f | <= E和
| RU (f) - f | <= E，
其中E = n * u * (|1.324/1.567| + |1.641/1.878|)，
并且，如上所述，u = 0.001。
所以，
E = 2 * 0.001 * 1.7187285282921926 = 0.0034374570565843852
（这是一个粗略的估计，因为f被舍入了。）
现在让我们计算RD(f)和RF(f)：
RD(f) = RD(0.8449266113592853 + 0.8738019169329073) = RD(0.844 + 0.873) = 1.717
RU(f) = RU(0.8449266113592853 + 0.8738019169329073) = RU(0.845 + 0.874) = 1.719
所以，
|RD(f) - f| = 0.0017285282921926
|RU(f) – f| = 0.0002714717078074
和
|RD(f) - RU(f)| = 0.002 < 0.0034374570565843852
由此我认为|RD(f) - f| = E只有|RU(f) – f| = 0，反之亦然。因此，
| RD（f） - RU（f）| ＆lt; = E 。
或者这个例子有问题吗？
答案 0 :(得分：2)
设 u 为1与下一个可表示的数字之间的差值大于1.（这是最小精度单位[ULP]为1，有效数字中最低有效位的值以浮点格式表示1。）
考虑函数f（ x ）=（4 - （ x +½ u ） - 3）/（½ û）。 f（1）的精确数学值为1，但舍入的计算值为0，舍入的计算值为0：
因此，对于域 x ∈{1}上的此函数，我们有一个错误界限 E = 1，这样| RD（f） - f | ≤ E 和| RU（f） - f | ≤ E ，但| RD（f） - RU（f）| ≤0。
相反，考虑函数（x +½ u - 1）/（½ u ）。 f（1）的精确数学值再次为1，但现在舍入的计算值为-1，而舍入的计算值为+1。
所以，在这种情况下，我们有相同的错误绑定 E = 1，这样| RD（f） - f | ≤ E 和| RU（f） - f | ≤ E ，但现在是| RD（f） - RU（f）|的最佳限制是| RD（f） - RU（f）| ≤2
所以，一般来说，给定| RD（f） - f | ≤ E 和| RU（f） - f | ≤ E ，| RD（f） - RU（f）|的最佳界限可以从0到2 波动。
总的来说回答了这个问题。在评论中，你会询问f = a1 / b1 + a2 / b2 + ... + an / bn是否为正ai和bi。给定约束，并且如果所有b值都是可表示的，我认为每个舍入误差必须对计算结果具有负（朝向-∞）效果，并且每个舍入误差必须具有正效果（朝向+∞）。 （如果任何b值不可表示，则其舍入将对最终结果产生相反的影响，并且以下分析不适用。）如果 E 是最佳（最小）限制，则| RD （f） - f | ＆LT; E 和| RU（f） - f | ＆LT; E ，那么| RD（f） - RU（f）|是不可能的＆LT; E ，| RD（f） - RU（f）|必须＆LT; 2 电子的
（如果你改变＆lt;to≤，那么，如果 E 是最好的界限，那么| RD（f） - f |≤ E 和| RU（ f） - f |≤ E ，当且仅当 E 时，| RD（f） - RU（f）|≤ E 是可能的如果 E 为0，则显然是正确的，这意味着算术是精确的。如果 E 不为零，那么其中一个计算必须有一些非零错误，因此另一个也是如此。由于计算过程中错误必然是单调的，因此最终错误必须保持非零且符号相反。）
[事实证明我在f（ x ）中不需要参数 x ;我可以简单地使用问题中提出的常数函数f。但是，在我意识到我不需要之前，我就用这种方式编写了演示。]