如何显示lg n！ = Theta（n lg n），不使用斯特林公式

Question

我必须表明

lg n! = Theta(n lg n)

但我必须在不使用斯特林公式的情况下这样做。我知道如何用斯特林公式做到这一点，但没有它我就做不到，有人能给我一个关于如何实现这个目标的暗示吗？

Answer 1

你可以将两个表达式之间的阶乘“夹在中间”，这两个表达式具有相同的渐近增长。

例如：

(n/2)^(n/2) < n! < n^n

然后

log((n/2)^(n/2)) < log(n!) < log(n^n)

Answer 2

考虑使用对数的属性：

1. log(xy) = log(x) + log(y)
2. log(x^y) = y log(x)

除了近似值：



你应该会看到一些很好的术语，然后你可以应用一个绑定。