在Python中证明傅里叶变换操作

Question

我在时域中有一个表达

f = -1j*H(t) * exp(-(1j*a+b)*t)

可以使用known properties进行傅立叶变换分析（H是Heaviside阶跃函数）。 FT操作的结果是

F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

其中w是频率。

现在我使用this article中的提示在Python中对f进行数字傅立叶变换，并确认我得到的结果与F相同：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-10,10,1e4) # time
w = np.linspace(-10,10,1e4) # frequency

b = 0.1
a = 1

H = lambda x: 1*(x>0) # heaviside function

# function in time
f = -1j*H(t)*np.exp(-(1j*a+b)*t)

# function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)/((w-a)**2+b**2)

hann = np.hanning(len(t))  # hanning window

# function in frequency (numerical work)
F2 = 2/len(t)*np.fft.fft(hann*f)

plt.figure()
plt.plot(w,F.real,'b',label='analytical')
plt.plot(w,F2.real,'b--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Re($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.figure()
plt.plot(w,F.imag,'g',label='analytical')
plt.plot(w,F2.imag,'g--',label='fft')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Im($F(\omega)$)')
plt.legend(loc='best')

plt.show()

然而，Python的FFT函数似乎给了我一些完全错误的东西。当F和F2被绘制时，这一点很明显。

编辑：以下是情节......

在这些图中并不明显，但如果放大w=-10和10区域，则会出现小振荡，可能是由于fft算法造成的。

Answer 1

FFT算法计算DFT，DFT在第一个样本上具有原点（空间和频域）。你需要移动你的信号（在应用Hanning窗口之后），使得t = 0是最左边的样本，并且在计算FFT之后你必须进行逆移。

MATLAB有ifftshift和fftshift，它们实现了这两个班次。 NumPy必须具有类似的功能。

您的代码的另一个问题是您计算DFT，并将其绘制在您计算的w给出的位置，但与计算DFT的实际频率无关。

这是您的代码，已翻译为MATLAB，并已修复为正确计算F2和w *。我希望这很有用。需要注意的一点是，您的F与F2不符，我相信这不是F2中的错误，而是F计算错误}。形状类似，但F按比例缩放并镜像。

N = 1e3;
t = linspace(-100,100,N); % time
Fs = 1/(t(2)-t(1));
w = Fs * (-floor(N/2):floor((N-1)/2)) / N; % NOTE proper frequencies

b = 0.1;
a = 1;

H = @(x)1*(x>0); % Heaviside function

% function in time
f = -1j*H(t).*exp(-(1j*a+b)*t);

% function in frequency (analytical work)
F = (w-a-1j*b)./((w-a).^2+b.^2);

% hanning window
hann = 0.5*(1-cos(2*pi*linspace(0,1,N)));

% function in frequency (numerical work)
F2 = fftshift(fft(ifftshift(hann.*f))); % NOTE shifting of origin

figure

subplot(2,1,1), hold on
plot(w,real(F),'b-')
plot(w,real(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Re(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

subplot(2,1,2), hold on
plot(w,imag(F),'b-')
plot(w,imag(F2),'r-')
xlabel('\omega')
ylabel('Im(F(\omega))')
legend({'analytical','fft'},'Location','best')

^{脚注：
*我也改变了颜色，MATLAB的绿色太亮了。}