大浮点和的精度

Question

我正在尝试对正向递减浮点的排序数组求和。我已经看到，总结它们的最佳方法是开始将数字从最低到最高加起来。我写这个代码的例子是，但是，从最高数字开始的总和更精确。为什么？ （当然，总和1 / k ^ 2应为f = 1.644934066848226）。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {

    double sum = 0;
    int n;
    int e = 0;
    double r = 0;
    double f = 1.644934066848226;
    double x, y, c, b;
    double sum2 = 0;

    printf("introduce n\n");
    scanf("%d", &n);

    double terms[n];

    y = 1;

    while (e < n) {
        x = 1 / ((y) * (y));
        terms[e] = x;
        sum = sum + x;
        y++;
        e++;
    }

    y = y - 1;
    e = e - 1;

    while (e != -1) {
        b = 1 / ((y) * (y));
        sum2 = sum2 + b;
        e--;
        y--;
    }
    printf("sum from biggest to smallest is %.16f\n", sum);
    printf("and its error %.16f\n", f - sum);
    printf("sum from smallest to biggest is %.16f\n", sum2);
    printf("and its error %.16f\n", f - sum2);
    return 0;
}

Answer 1

当您添加两个具有不同数量级的浮点数时，最小数字的低位数将丢失。

当您从最小值到最大值求和时，部分总和增长Σ1/k² k从N增加到n，即大约1/n-1/N（蓝色） ），与1/n²进行比较。

当您从最大值到最小值求和时，部分总和增长Σ1/k² k从n增加到N，大约为π²/6-1/n（在绿色）与1/n²进行比较。

很明显，第二种情况导致更多的比特损失。