python

Question

我想看一个函数intensity(r)与空间的关系图，所以r（径向对称）。

但是，我从intensity(r) = integrate(integrand(r), (x,0,5))获得强度，其中integrand = exp(-x**2) * exp(np.pi*1j*(-x)) * besselj(0, r*x) * x。

上述所有语法都使用sympy包，因此我首先定义 x,y = symbols('x r') 。

我正在使用符号变量，因为它似乎使视觉上更容易，将r作为变量留到最后，当我绘制它并为其指定数值时。

然而，用符号变量做那个可怕的积分似乎需要很长时间。

• 有没有办法与符号变量进行数值积分？

• 唯一的另一种选择是定义r先验值并找到每个值的积分吗？

Answer 1

除此之外：当您创建符号表达式时，请将其保持为符号。不要混合真实的浮动np.pi和复杂的浮动1j，而是使用SymPy的pi和I。

from sympy import exp, pi, I, besselj, symbols
x, r = symbols('x r')
integrand = exp(-x**2) * exp(pi*I*(-x)) * besselj(0, r*x) * x

但是，看起来SymPy看起来不能将贝塞尔函数的乘积与exp(-x**2) * exp(pi*I*(-x))进行整合。这种情况已经发生，r被1代替，因此r的符号性质就在这一点之外。

直接回答你的问题：

  

有没有办法用符号变量进行数值积分？

没有，就像没有干水一样。这是一个矛盾。

  

唯一的另一种选择是定义r先验值并找到每个值的积分吗？

是。它可以通过SymPy（将调用mpmath）来完成：

>>> intensity = lambda r_: Integral(integrand.subs(r, r_), (x, 0, 5)).evalf()
>>> intensity(3)
0.0783849036516177 - 0.125648626220306*I

鉴于它的复杂价值，你打算如何计划这个函数还不是很清楚。也许你想绘制强度的绝对值？

无论如何，与SymPy / mpmath（纯Python）的集成对于绘图来说太慢了。使用SciPy的quad进行集成会更好。它不处理复杂的积分，所以我分别整合了真实和复杂的部分。

from scipy.integrate import quad
from scipy.special import jn
integrand = lambda x, r: np.exp(-x**2) * np.exp(np.pi*1j*(-x)) * jn(0, r*x) * x
intensity = lambda r: np.sqrt(quad(lambda x: np.real(integrand(x, r)), 0, 5)[0]**2 + quad(lambda x: np.imag(integrand(x, r)), 0, 5)[0]**2)

现在intensity(3)的评估速度比之前版本快得多。我们可以绘制它：

import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 3)
plt.plot(t, np.vectorize(intensity)(t))